微分積分例

$y = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 3$

ステップ 1

$y = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 3$ を関数で書きます。

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 3$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $- x^{4} + 4 x^{3} - 4 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{4}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.1.1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.1.1.3.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.1.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.1.1.4.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} (3)$

ステップ 2.1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.1.5.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 + 0$

ステップ 2.1.1.5.2

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $- 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 2.1.2.2.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 2.1.2.3.3

$2$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 2.1.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.4.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x + 0$

ステップ 2.1.2.4.2

$- 12 x^{2} + 24 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 12 x^{2} + 24 x$ です。

$- 12 x^{2} + 24 x$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 12 x^{2} + 24 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 12 x^{2} + 24 x = 0$

ステップ 2.2.2

$- 12 x$ を $- 12 x^{2} + 24 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$- 12 x$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$- 12 x \cdot x + 24 x = 0$

ステップ 2.2.2.2

$- 12 x$ を $24 x$ で因数分解します。

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.2.2.3

$- 12 x$ を $- 12 x (x) - 12 x (- 2)$ で因数分解します。

$- 12 x (x - 2) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.2.6

最終解は $- 12 x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = - 12 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = - 12 \cdot 4 + 24 (- 2)$

ステップ 5.2.1.2

$- 12$ に $4$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 48 + 24 (- 2)$

ステップ 5.2.1.3

$24$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 48 - 48$

ステップ 5.2.2

$- 48$ から $48$ を引きます。

$f'' (- 2) = - 96$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 96$ です。

$- 96$

ステップ 5.3

$f'' (- 2)$ が負なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f'' (1) = - 12 {(1)}^{2} + 24 (1)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (1) = - 12 \cdot 1 + 24 (1)$

ステップ 6.2.1.2

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = - 12 + 24 (1)$

ステップ 6.2.1.3

$24$ に $1$ をかけます。

$f'' (1) = - 12 + 24$

ステップ 6.2.2

$- 12$ と $24$ をたし算します。

$f'' (1) = 12$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $12$ です。

$12$

ステップ 6.3

$f'' (1)$ が正なので、区間 $(0, 2)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, 2)$ で上に凹します。

ステップ 7

区間 $(2, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = - 12 {(4)}^{2} + 24 (4)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = - 12 \cdot 16 + 24 (4)$

ステップ 7.2.1.2

$- 12$ に $16$ をかけます。

$f'' (4) = - 192 + 24 (4)$

ステップ 7.2.1.3

$24$ に $4$ をかけます。

$f'' (4) = - 192 + 96$

ステップ 7.2.2

$- 192$ と $96$ をたし算します。

$f'' (4) = - 96$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 96$ です。

$- 96$

ステップ 7.3

$f'' (4)$ が負なので、区間 $(2, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(2, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, 2)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(2, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例