微分積分例

$f (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x + 2$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (2)) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{(x - 2) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(x - 2) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4.2

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.7

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x - 2 - (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{x - 2 - x - 1 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

$x - 2 - x - 1 \cdot 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.1.3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{0 - 2 - 1 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2

$0$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- 2 - 1 \cdot 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{- 2 - 2}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.3

$- 2$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- 4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4}{{(x - 2)}^{2}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ を ${({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} {({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$

ステップ 1.1.2.1.2.2

${({(x - 2)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.1.2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{- 2}$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 2$ とします。

$f'' (x) = - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 4 (- 2 {(x - 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 1.1.2.3

微分します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = 8 ({(x - 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 2))$

ステップ 1.1.2.3.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

ステップ 1.1.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

ステップ 1.1.2.3.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3} (1 + 0)$

ステップ 1.1.2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3} \cdot 1$

ステップ 1.1.2.3.5.2

$8$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 8 {(x - 2)}^{- 3}$

ステップ 1.1.2.4

簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 8 (\frac{1}{{(x - 2)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.4.2

$8$ と $\frac{1}{{(x - 2)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{8}{{(x - 2)}^{3}}$ です。

$\frac{8}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{8}{{(x - 2)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{8}{{(x - 2)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$8 = 0$

ステップ 1.2.3

$8 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = \frac{x + 2}{x - 2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{x + 2}{x - 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2}$

区間記号：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{8}{{((0) - 2)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ から $2$ を引きます。

$f'' (0) = \frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{8}{- 8}$

ステップ 4.2.2

$8$ を $- 8$ で割ります。

$f'' (0) = - 1$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, 2)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 2)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(2, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = \frac{8}{{((4) - 2)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$4$ から $2$ を引きます。

$f'' (4) = \frac{8}{2^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{8}{8}$

ステップ 5.2.2

$8$ を $8$ で割ります。

$f'' (4) = 1$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 5.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(2, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 2)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

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