微分積分例

$f (x) = 10 x^{3} - 3 x^{5}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $10 x^{3} - 3 x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x^{3}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ に $10$ をかけます。

$f' (x) = 30 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{5}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f' (x) = 30 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{5}$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 30 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

ステップ 1.1.1.3.3

$5$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = 30 x^{2} - 15 x^{4}$

ステップ 1.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 15 x^{4} + 30 x^{2}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $- 15 x^{4} + 30 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x^{4}$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = - 15 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

ステップ 1.1.2.2.3

$4$ に $- 15$ をかけます。

$f'' (x) = - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$30$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $30 x^{2}$ の微分係数は $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 30 \frac{d}{d x} (x^{2})$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 30 (2 x)$

ステップ 1.1.2.3.3

$2$ に $30$ をかけます。

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 60 x$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 60 x^{3} + 60 x$ です。

$- 60 x^{3} + 60 x$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 60 x^{3} + 60 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 60 x^{3} + 60 x = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$- 60 x$ を $- 60 x^{3} + 60 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$- 60 x$ を $- 60 x^{3}$ で因数分解します。

$- 60 x \cdot x^{2} + 60 x = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$- 60 x$ を $60 x$ で因数分解します。

$- 60 x \cdot x^{2} - 60 x \cdot - 1 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

$- 60 x$ を $- 60 x (x^{2}) - 60 x (- 1)$ で因数分解します。

$- 60 x (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 1.2.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- 60 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 1.2.2.3

因数分解。

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ステップ 1.2.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$- 60 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 1.2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$- 60 x (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.2.7

最終解は $- 60 x (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1, 1$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = - 60 {(- 4)}^{3} + 60 (- 4)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = - 60 \cdot - 64 + 60 (- 4)$

ステップ 4.2.1.2

$- 60$ に $- 64$ をかけます。

$f'' (- 4) = 3840 + 60 (- 4)$

ステップ 4.2.1.3

$60$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (- 4) = 3840 - 240$

ステップ 4.2.2

$3840$ から $240$ を引きます。

$f'' (- 4) = 3600$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $3600$ です。

$3600$

ステップ 4.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 1, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.5$ で置換えます。

$f'' (- 0.5) = - 60 {(- 0.5)}^{3} + 60 (- 0.5)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 0.5$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.5) = - 60 \cdot - 0.125 + 60 (- 0.5)$

ステップ 5.2.1.2

$- 60$ に $- 0.125$ をかけます。

$f'' (- 0.5) = 7.5 + 60 (- 0.5)$

ステップ 5.2.1.3

$60$ に $- 0.5$ をかけます。

$f'' (- 0.5) = 7.5 - 30$

ステップ 5.2.2

$7.5$ から $30$ を引きます。

$f'' (- 0.5) = - 22.5$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 22.5$ です。

$- 22.5$

ステップ 5.3

$f'' (- 0.5)$ が負なので、区間 $(- 1, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, 0)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.5$ で置換えます。

$f'' (0.5) = - 60 {(0.5)}^{3} + 60 (0.5)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0.5$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.5) = - 60 \cdot 0.125 + 60 (0.5)$

ステップ 6.2.1.2

$- 60$ に $0.125$ をかけます。

$f'' (0.5) = - 7.5 + 60 (0.5)$

ステップ 6.2.1.3

$60$ に $0.5$ をかけます。

$f'' (0.5) = - 7.5 + 30$

ステップ 6.2.2

$- 7.5$ と $30$ をたし算します。

$f'' (0.5) = 22.5$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $22.5$ です。

$22.5$

ステップ 6.3

$f'' (0.5)$ が正なので、区間 $(0, 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, 1)$ で上に凹します。

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = - 60 {(4)}^{3} + 60 (4)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$4$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = - 60 \cdot 64 + 60 (4)$

ステップ 7.2.1.2

$- 60$ に $64$ をかけます。

$f'' (4) = - 3840 + 60 (4)$

ステップ 7.2.1.3

$60$ に $4$ をかけます。

$f'' (4) = - 3840 + 240$

ステップ 7.2.2

$- 3840$ と $240$ をたし算します。

$f'' (4) = - 3600$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 3600$ です。

$- 3600$

ステップ 7.3

$f'' (4)$ が負なので、区間 $(1, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

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