微分積分例

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

ステップ 1

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x^{2}}{32}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

ステップ 2.1.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

ステップ 2.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x^{2}}{32}$ で置き換えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

ステップ 2.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$- \frac{1}{32}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{2}}{32}$ の微分係数は $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.1.2.2

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ と $\frac{1}{32}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x)$

ステップ 2.1.1.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

ステップ 2.1.1.2.4.2

$- 2$ と $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ をまとめます。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

ステップ 2.1.1.2.4.3

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{32}$

ステップ 2.1.1.2.4.4

$- 2$ と $32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.4.4.1

$2$ を $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{32}$

ステップ 2.1.1.2.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.4.4.2.1

$2$ を $32$ で因数分解します。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 (16)}$

ステップ 2.1.1.2.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 \cdot 16}$

ステップ 2.1.1.2.4.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

ステップ 2.1.1.2.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.4.5.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

ステップ 2.1.1.2.4.5.2

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- \frac{1}{16}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ の微分係数は $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$ です。

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{1}{16} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{32}}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x^{2}}{32}$ とします。

$- \frac{1}{16} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- \frac{1}{16} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x^{2}}{32}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$- \frac{1}{32}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{2}}{32}$ の微分係数は $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ と $\frac{1}{32}$ をまとめます。

$- \frac{1}{16} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.2.2

$x$ と $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ をまとめます。

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{16} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.4.2

$- 2$ と $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ をまとめます。

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32}$ と $x$ をまとめます。

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}}) x}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.8

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.8.2

$- 2$ と $32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.2.1

$2$ を $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.8.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.2.2.1

$2$ を $32$ で因数分解します。

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 (16)} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.8.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 \cdot 16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.8.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{16} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.8.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \cdot 1)$

ステップ 2.1.2.10

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}})$

ステップ 2.1.2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}) - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

ステップ 2.1.2.11.2

項をまとめます。

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ステップ 2.1.2.11.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{16}) \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

ステップ 2.1.2.11.2.2

$\frac{1}{16}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

ステップ 2.1.2.11.2.3

$\frac{1}{16}$ に $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16 \cdot 16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

ステップ 2.1.2.11.2.4

$16$ に $16$ をかけます。

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

ステップ 2.1.2.11.2.5

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ と $\frac{1}{16}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ です。

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = - 4, 4$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 4)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2} e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ を分母に移動させます。

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 5.2.1.2

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 5.2.1.3

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 5.2.1.4

$36$ と $32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 5.2.1.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.2.1

$4$ を $32$ で因数分解します。

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 5.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 5.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 5.2.1.5

$4$ を $36$ で因数分解します。

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 5.2.1.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.6.1

$4$ を $256 e^{\frac{9}{8}}$ で因数分解します。

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 5.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 5.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 5.2.1.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ を分母に移動させます。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}$

ステップ 5.2.1.8

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

ステップ 5.2.1.9

$36$ と $32$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.9.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

ステップ 5.2.1.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.9.2.1

$4$ を $32$ で因数分解します。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

ステップ 5.2.1.9.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

ステップ 5.2.1.9.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

ステップ 5.2.2

$- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 5.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $64 e^{\frac{9}{8}}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.2.3.1

$\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

ステップ 5.2.3.2

$4$ に $16$ をかけます。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

ステップ 5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- 6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

ステップ 5.2.5

$9$ から $4$ を引きます。

$f'' (- 6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

ステップ 5.2.6

最終的な答えは $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ です。

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

ステップ 5.3

$f'' (- 6)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 4)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 4)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(- 4, 4)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 6.2.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{0 e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 6.2.1.2.2

$0$ を $32$ で割ります。

$f'' (0) = \frac{0 e^{- 0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 6.2.1.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 e^{0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 6.2.1.2.4

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = \frac{0 \cdot 1}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 6.2.1.4

$0$ を $256$ で割ります。

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 6.2.1.5

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{0}{32}}}{16}$

ステップ 6.2.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.6.1

$0$ を $32$ で割ります。

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- 0}}{16}$

ステップ 6.2.1.6.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{0}}{16}$

ステップ 6.2.1.6.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 - \frac{1}{16}$

ステップ 6.2.2

$0$ から $\frac{1}{16}$ を引きます。

$f'' (0) = - \frac{1}{16}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{16}$ です。

$- \frac{1}{16}$

ステップ 6.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- 4, 4)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 4, 4)$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(4, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2} e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ を分母に移動させます。

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2}}{256 e^{\frac{6^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 7.2.1.2

$6$ を $2$ 乗します。

$f'' (6) = \frac{6^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 7.2.1.3

$6$ を $2$ 乗します。

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 7.2.1.4

$36$ と $32$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.4.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 7.2.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.4.2.1

$4$ を $32$ で因数分解します。

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 7.2.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 7.2.1.4.2.3

式を書き換えます。

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 7.2.1.5

$4$ を $36$ で因数分解します。

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 7.2.1.6

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.6.1

$4$ を $256 e^{\frac{9}{8}}$ で因数分解します。

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 7.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 7.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

ステップ 7.2.1.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ を分母に移動させます。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{6^{2}}{32}}}$

ステップ 7.2.1.8

$6$ を $2$ 乗します。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

ステップ 7.2.1.9

$36$ と $32$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.9.1

$4$ を $36$ で因数分解します。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

ステップ 7.2.1.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.9.2.1

$4$ を $32$ で因数分解します。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

ステップ 7.2.1.9.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

ステップ 7.2.1.9.2.3

式を書き換えます。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

ステップ 7.2.2

$- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 7.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $64 e^{\frac{9}{8}}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.2.3.1

$\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

ステップ 7.2.3.2

$4$ に $16$ をかけます。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

ステップ 7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f'' (6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

ステップ 7.2.5

$9$ から $4$ を引きます。

$f'' (6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

ステップ 7.2.6

最終的な答えは $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ です。

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

ステップ 7.3

$f'' (6)$ が正なので、区間 $(4, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(4, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 4)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 4, 4)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(4, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例