微分積分例

${(x^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 1

${(x^{2} - 1)}^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 2.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 2.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 2.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 2.1.1.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

ステップ 2.1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

ステップ 2.1.1.2.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

ステップ 2.1.1.2.4.3

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$6 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}] + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$6 (x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$6 (x^{1} x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$6 (x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 (x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1)$

ステップ 2.1.2.10

${(x^{2} - 1)}^{2}$ に $1$ をかけます。

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

ステップ 2.1.2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.1

分配則を当てはめます。

$6 (x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

ステップ 2.1.2.11.2

分配則を当てはめます。

$6 (x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

ステップ 2.1.2.11.3

分配則を当てはめます。

$6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2.11.4

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.4.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.4.1.1

$x^{2}$ を移動させます。

$6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2.11.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2.11.4.1.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$6 (x^{4} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2.11.4.2

$4$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$6 (4 \cdot x^{4}) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2.11.4.3

$4$ に $6$ をかけます。

$24 x^{4} + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2.11.4.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$24 x^{4} + 6 (x^{2} \cdot - 4) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2.11.4.5

$- 4$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$24 x^{4} + 6 (- 4 \cdot x^{2}) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2.11.4.6

$- 4$ に $6$ をかけます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

ステップ 2.1.2.11.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.5.1

${(x^{2} - 1)}^{2}$ を $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ に書き換えます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.2.11.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.5.2.1

分配則を当てはめます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.2.11.5.2.2

分配則を当てはめます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1))$

ステップ 2.1.2.11.5.2.3

分配則を当てはめます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

ステップ 2.1.2.11.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.5.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.5.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

ステップ 2.1.2.11.5.3.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

ステップ 2.1.2.11.5.3.1.2

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

ステップ 2.1.2.11.5.3.1.3

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

ステップ 2.1.2.11.5.3.1.4

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1)$

ステップ 2.1.2.11.5.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1)$

ステップ 2.1.2.11.5.3.2

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

ステップ 2.1.2.11.5.4

分配則を当てはめます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} + 6 (- 2 x^{2}) + 6 \cdot 1$

ステップ 2.1.2.11.5.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.5.5.1

$- 2$ に $6$ をかけます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

ステップ 2.1.2.11.5.5.2

$6$ に $1$ をかけます。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6$

ステップ 2.1.2.11.6

$24 x^{4}$ と $6 x^{4}$ をたし算します。

$30 x^{4} - 24 x^{2} - 12 x^{2} + 6$

ステップ 2.1.2.11.7

$- 24 x^{2}$ から $12 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$ です。

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$

ステップ 2.2.2

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$30 u^{2} - 36 u + 6 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$6$ を $30 u^{2} - 36 u + 6$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1.1

$6$ を $30 u^{2}$ で因数分解します。

$6 (5 u^{2}) - 36 u + 6 = 0$

ステップ 2.2.3.1.2

$6$ を $- 36 u$ で因数分解します。

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 = 0$

ステップ 2.2.3.1.3

$6$ を $6$ で因数分解します。

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 (1) = 0$

ステップ 2.2.3.1.4

$6$ を $6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u)$ で因数分解します。

$6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1) = 0$

ステップ 2.2.3.1.5

$6$ を $6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1)$ で因数分解します。

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

ステップ 2.2.3.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ で和が $b = - 6$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.3.2.1.1.1

$- 6$ を $- 6 u$ で因数分解します。

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

ステップ 2.2.3.2.1.1.2

$- 6$ を $- 1$ プラス $- 5$ に書き換える

$6 (5 u^{2} + (- 1 - 5) u + 1) = 0$

ステップ 2.2.3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$6 (5 u^{2} - 1 u - 5 u + 1) = 0$

ステップ 2.2.3.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$6 ((5 u^{2} - 1 u) - 5 u + 1) = 0$

ステップ 2.2.3.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$6 (u (5 u - 1) - (5 u - 1)) = 0$

ステップ 2.2.3.2.1.3

最大公約数 $5 u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$6 ((5 u - 1) (u - 1)) = 0$

ステップ 2.2.3.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$

ステップ 2.2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$5 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 2.2.5

$5 u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

$5 u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$5 u - 1 = 0$

ステップ 2.2.5.2

$u$ について $5 u - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$5 u = 1$

ステップ 2.2.5.2.2

$5 u = 1$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.2.1

$5 u = 1$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 2.2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 2.2.5.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{1}{5}$

ステップ 2.2.6

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 2.2.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 2.2.7

最終解は $6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = \frac{1}{5}, 1$

ステップ 2.2.8

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

ステップ 2.2.9

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = \frac{1}{5}$

ステップ 2.2.10

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

ステップ 2.2.10.2

$\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.2.1

$\sqrt{\frac{1}{5}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

ステップ 2.2.10.2.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

ステップ 2.2.10.2.3

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 2.2.10.2.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.2.4.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 2.2.10.2.4.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 2.2.10.2.4.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 2.2.10.2.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.2.10.2.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 2.2.10.2.4.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.2.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2.10.2.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.10.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.10.2.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.2.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.10.2.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 2.2.10.2.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

ステップ 2.2.10.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

ステップ 2.2.10.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

ステップ 2.2.10.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

ステップ 2.2.11

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = 1$

ステップ 2.2.12

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.12.1

括弧を削除します。

$x^{2} = 1$

ステップ 2.2.12.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.2.12.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 2.2.12.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.12.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.2.12.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2.2.12.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 2.2.13

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ の解は $x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ です。

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{5}, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = 30 {(- 4)}^{4} - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 4$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 4) = 30 \cdot 256 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

ステップ 5.2.1.2

$30$ に $256$ をかけます。

$f'' (- 4) = 7680 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

ステップ 5.2.1.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

ステップ 5.2.1.4

$- 36$ に $16$ をかけます。

$f'' (- 4) = 7680 - 576 + 6$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$7680$ から $576$ を引きます。

$f'' (- 4) = 7104 + 6$

ステップ 5.2.2.2

$7104$ と $6$ をたし算します。

$f'' (- 4) = 7110$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $7110$ です。

$7110$

ステップ 5.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.72$ で置換えます。

$f'' (- 0.72) = 30 {(- 0.72)}^{4} - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 0.72$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

ステップ 6.2.1.2

$30$ に $0.26873856$ をかけます。

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

ステップ 6.2.1.3

$- 0.72$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

ステップ 6.2.1.4

$- 36$ に $0.5184$ をかけます。

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$8.0621568$ から $18.6624$ を引きます。

$f'' (- 0.72) = - 10.6002432 + 6$

ステップ 6.2.2.2

$- 10.6002432$ と $6$ をたし算します。

$f'' (- 0.72) = - 4.6002432$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 4.6002432$ です。

$- 4.6002432$

ステップ 6.3

$f'' (- 0.72)$ が負なので、区間 $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 30 {(0)}^{4} - 36 {(0)}^{2} + 6$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 30 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

ステップ 7.2.1.2

$30$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

ステップ 7.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 6$

ステップ 7.2.1.4

$- 36$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 + 6$

ステップ 7.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 + 6$

ステップ 7.2.2.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$f'' (0) = 6$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 7.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ で上に凹します。

ステップ 8

区間 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.72$ で置換えます。

$f'' (0.72) = 30 {(0.72)}^{4} - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.72$ を $4$ 乗します。

$f'' (0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

ステップ 8.2.1.2

$30$ に $0.26873856$ をかけます。

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

ステップ 8.2.1.3

$0.72$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

ステップ 8.2.1.4

$- 36$ に $0.5184$ をかけます。

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

ステップ 8.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$8.0621568$ から $18.6624$ を引きます。

$f'' (0.72) = - 10.6002432 + 6$

ステップ 8.2.2.2

$- 10.6002432$ と $6$ をたし算します。

$f'' (0.72) = - 4.6002432$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 4.6002432$ です。

$- 4.6002432$

ステップ 8.3

$f'' (0.72)$ が負なので、区間 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ で下に凹します。

ステップ 9

区間 $(1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = 30 {(4)}^{4} - 36 {(4)}^{2} + 6$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$4$ を $4$ 乗します。

$f'' (4) = 30 \cdot 256 - 36 {(4)}^{2} + 6$

ステップ 9.2.1.2

$30$ に $256$ をかけます。

$f'' (4) = 7680 - 36 {(4)}^{2} + 6$

ステップ 9.2.1.3

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

ステップ 9.2.1.4

$- 36$ に $16$ をかけます。

$f'' (4) = 7680 - 576 + 6$

ステップ 9.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$7680$ から $576$ を引きます。

$f'' (4) = 7104 + 6$

ステップ 9.2.2.2

$7104$ と $6$ をたし算します。

$f'' (4) = 7110$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $7110$ です。

$7110$

ステップ 9.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(1, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(1, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 10

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(1, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例