微分積分例

$5 - 2 x y = 7 x - 3 y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (5 - 2 x y) = \frac{d}{d x} (7 x - 3 y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $5 - 2 x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$ です。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

ステップ 2.1.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x y$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$0 - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 2 (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 2.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$0 - 2 (x y' + y)$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$0 - 2 (x y') - 2 y$

ステップ 2.3.2

$0$ から $- (- 2 x y' - 2 y)$ を引きます。

$- 2 x y' - 2 y$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $7 x - 3 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ です。

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

ステップ 3.2.3

$7$ に $1$ をかけます。

$7 + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 3 y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 y$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ です。

$7 - 3 \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$7 - 3 y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$- 2 x y' - 2 y = 7 - 3 y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $3 y'$ を足します。

$- 2 x y' - 2 y + 3 y' = 7$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $2 y$ を足します。

$- 2 x y' + 3 y' = 7 + 2 y$

ステップ 5.3

$y'$ を $- 2 x y' + 3 y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $- 2 x y'$ で因数分解します。

$y' (- 2 x) + 3 y' = 7 + 2 y$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $3 y'$ で因数分解します。

$y' (- 2 x) + y' \cdot 3 = 7 + 2 y$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' (- 2 x) + y' \cdot 3$ で因数分解します。

$y' (- 2 x + 3) = 7 + 2 y$

ステップ 5.4

$y' (- 2 x + 3) = 7 + 2 y$ の各項を $- 2 x + 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (- 2 x + 3) = 7 + 2 y$ の各項を $- 2 x + 3$ で割ります。

$\frac{y' (- 2 x + 3)}{- 2 x + 3} = \frac{7}{- 2 x + 3} + \frac{2 y}{- 2 x + 3}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$- 2 x + 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (- 2 x + 3)}{- 2 x + 3} = \frac{7}{- 2 x + 3} + \frac{2 y}{- 2 x + 3}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{7}{- 2 x + 3} + \frac{2 y}{- 2 x + 3}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{7 + 2 y}{- 2 x + 3}$

ステップ 5.4.3.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{7 + 2 y}{- (2 x) + 3}$

ステップ 5.4.3.3

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$y' = \frac{7 + 2 y}{- (2 x) - 1 (- 3)}$

ステップ 5.4.3.4

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$y' = \frac{7 + 2 y}{- (2 x - 3)}$

ステップ 5.4.3.5

負の数を書き換えます。

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ステップ 5.4.3.5.1

$- (2 x - 3)$ を $- 1 (2 x - 3)$ に書き換えます。

$y' = \frac{7 + 2 y}{- 1 (2 x - 3)}$

ステップ 5.4.3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{7 + 2 y}{2 x - 3}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{7 + 2 y}{2 x - 3}$

微分積分 例

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