微分積分例

$y = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

ステップ 1

右辺を有理指数で書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{\sqrt{x} + 1}$

ステップ 1.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}} + 1}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}} + 1})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 1$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 1] - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2

微分します。

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ステップ 4.2.1

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.9

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 1]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.10

総和則では、 $x^{\frac{1}{2}} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.11

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.12

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.13

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.15

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.15.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.15.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.16

分数をまとめます。

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ステップ 4.16.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.16.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.16.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.17

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.18

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.4.1

$x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.19.4.1.1

$x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ から $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ を引きます。

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19.4.1.2

$1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.19.4.2.1

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19.4.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19.4.2.3

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19.4.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1 + 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19.4.5

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19.4.6

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19.5

項をまとめます。

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ステップ 4.19.5.1

$\frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 4.19.5.2

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例