微分積分例

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = {(x - 4)}^{2}$ および $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x - 4$ とします。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$2$ を ${(x - 2)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{2} (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.4.2

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.4.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + 0) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) \cdot 1 - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.4.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x - 2$ とします。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.6.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.6.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.6.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.6.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \cdot 1)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.6.5.2

$x - 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.7.1.1

$2 (x - 2) (x - 4)$ を $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.7.1.1.1

$2 (x - 2) (x - 4)$ を $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.7.1.1.2

$2 (x - 2) (x - 4)$ を $- 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.7.1.1.3

$2 (x - 2) (x - 4)$ を $2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))$ で因数分解します。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.7.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x - - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.7.1.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.7.1.4

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (0 - 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.7.1.5

$0$ から $2$ を引きます。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (- 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.7.1.6

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) \cdot 2}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.7.1.7

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 (x - 2) (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.7.2

$x - 2$ と ${(x - 2)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.7.2.1

$x - 2$ を $4 (x - 2) (x - 4)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.1.7.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.7.2.2.1

$x - 2$ を ${(x - 2)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.1.7.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.1.7.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x - 4$ および $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 1.1.2.3.2

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 1.1.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 1.1.2.3.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 1.1.2.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 1.1.2.3.5.2

${(x - 2)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 1.1.2.4

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 2$ とします。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 1.1.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 1.1.2.5

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 1.1.2.5.2

${(x - 2)}^{2}$ を ${(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.2.1

${(x - 2)}^{2}$ を ${(x - 2)}^{3}$ で因数分解します。

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 1.1.2.5.2.2

${(x - 2)}^{2}$ を $- 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ で因数分解します。

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 1.1.2.5.2.3

${(x - 2)}^{2}$ を ${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ で因数分解します。

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

ステップ 1.1.2.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

${(x - 2)}^{2}$ を ${(x - 2)}^{6}$ で因数分解します。

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.6.2

共通因数を約分します。

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.6.3

式を書き換えます。

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.7

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.9

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.10.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.10.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.10.3

$4$ と $\frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ をまとめます。

$\frac{4 (x - 2 - 3 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 (x - 2 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 x + 4 \cdot - 2 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.3.1.1

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{4 x - 8 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.3.1.2

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.3.1.3

$4 (- 3 \cdot - 4)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.3.1.3.1

$- 3$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 \cdot 12}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.3.1.3.2

$4$ に $12$ をかけます。

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.3.2

$4 x$ から $12 x$ を引きます。

$\frac{- 8 x - 8 + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.3.3

$- 8$ と $48$ をたし算します。

$\frac{- 8 x + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.4

$8$ を $- 8 x + 40$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.4.1

$8$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x) + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.4.2

$8$ を $40$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x) + 8 (5)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.4.3

$8$ を $8 (- x) + 8 (5)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.5

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x) + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.6

$5$ を $- 1 (- 5)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.7

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 5)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.8

$- (x - 5)$ を $- 1 (x - 5)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- 1 (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.11.9

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$ です。

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$8 (x - 5) = 0$

ステップ 1.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$8 (x - 5) = 0$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$8 (x - 5) = 0$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 1.2.3.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

ステップ 1.2.3.1.2.1.2

$x - 5$ を $1$ で割ります。

$x - 5 = \frac{0}{8}$

ステップ 1.2.3.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.3.1

$0$ を $8$ で割ります。

$x - 5 = 0$

ステップ 1.2.3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2}$

区間記号：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 2) \cup (2, 5) \cup (5, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - \frac{8 ((0) - 5)}{{((0) - 2)}^{4}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$0$ から $5$ を引きます。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(0 - 2)}^{4}}$

ステップ 4.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$0$ から $2$ を引きます。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(- 2)}^{4}}$

ステップ 4.2.2.2

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{16}$

ステップ 4.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$8$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{- 40}{16}$

ステップ 4.2.3.2

$- 40$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$8$ を $- 40$ で因数分解します。

$f'' (0) = - \frac{8 (- 5)}{16}$

ステップ 4.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.2.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

ステップ 4.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

ステップ 4.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = - \frac{- 5}{2}$

ステップ 4.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (0) = \frac{5}{2}$

ステップ 4.2.4

最終的な答えは $\frac{5}{2}$ です。

$\frac{5}{2}$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, 2)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 2)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(2, 5)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = - \frac{8 ((4) - 5)}{{((4) - 2)}^{4}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$4$ から $5$ を引きます。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{{(4 - 2)}^{4}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$4$ から $2$ を引きます。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{2^{4}}$

ステップ 5.2.2.2

$2$ を $4$ 乗します。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{16}$

ステップ 5.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$8$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (4) = - \frac{- 8}{16}$

ステップ 5.2.3.2

$- 8$ と $16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

$8$ を $- 8$ で因数分解します。

$f'' (4) = - \frac{8 (- 1)}{16}$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.2.1

$8$ を $16$ で因数分解します。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

ステップ 5.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

ステップ 5.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (4) = - \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (4) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2}$

ステップ 5.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(2, 5)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(2, 5)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(5, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f'' (8) = - \frac{8 ((8) - 5)}{{((8) - 2)}^{4}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$8$ から $5$ を引きます。

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{{(8 - 2)}^{4}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$8$ から $2$ を引きます。

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{6^{4}}$

ステップ 6.2.2.2

$6$ を $4$ 乗します。

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{1296}$

ステップ 6.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$8$ に $3$ をかけます。

$f'' (8) = - \frac{24}{1296}$

ステップ 6.2.3.2

$24$ と $1296$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

$24$ を $24$ で因数分解します。

$f'' (8) = - \frac{24 (1)}{1296}$

ステップ 6.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.2.1

$24$ を $1296$ で因数分解します。

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

ステップ 6.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

ステップ 6.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (8) = - \frac{1}{54}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- \frac{1}{54}$ です。

$- \frac{1}{54}$

ステップ 6.3

$f'' (8)$ が負なので、区間 $(5, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(5, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 2)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(2, 5)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(5, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例