微分積分例

$f (x) = 2 x^{3}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{3}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

二項定理を利用します。

$f (x + h) = 2 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

ステップ 2.1.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 2 (3 x h^{2}) + 2 h^{3}$

ステップ 2.1.2.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 (x^{2} h) + 6 (x h^{2}) + 2 h^{3}$

ステップ 2.1.2.4

括弧を削除します。

$f (x + h) = 2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

ステップ 2.1.2.5

最終的な答えは $2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$ です。

$2 x^{3} + 6 x^{2} h + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

ステップ 2.2

並べ替えます。

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ステップ 2.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 x h^{2} + 2 h^{3}$

ステップ 2.2.2

$x$ を移動させます。

$2 x^{3} + 6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3}$

ステップ 2.2.3

$2 x^{3}$ を移動させます。

$6 h x^{2} + 6 h^{2} x + 2 h^{3} + 2 x^{3}$

ステップ 2.2.4

$6 h x^{2}$ を移動させます。

$6 h^{2} x + 2 h^{3} + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

ステップ 2.2.5

$6 h^{2} x$ と $2 h^{3}$ を並べ替えます。

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

$f (x + h) = 2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3}$

$f (x) = 2 x^{3}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - (2 x^{3})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 2 x^{3} - 2 x^{3}}{h}$

ステップ 4.1.2

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2} + 0}{h}$

ステップ 4.1.3

$2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.4

$2 h$ を $2 h^{3} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.4.1

$2 h$ を $2 h^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 6 h^{2} x + 6 h x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.4.2

$2 h$ を $6 h^{2} x$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 6 h x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.4.3

$2 h$ を $6 h x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

ステップ 4.1.4.4

$2 h$ を $2 h \cdot h^{2} + 2 h (3 h x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})}{h}$

ステップ 4.1.4.5

$2 h$ を $2 h (h^{2} + 3 h x) + 2 h (3 x^{2})$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

ステップ 4.2

項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 2 (3 h x) + 2 (3 x^{2})$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 2 (3 x^{2})$

ステップ 4.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 (h x) + 6 x^{2}$

ステップ 4.4

$h$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h^{2} + 6 x h + 6 x^{2}$

ステップ 4.5

$2 h^{2}$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x h + 6 x^{2} + 2 h^{2}$

ステップ 4.6

$6 x h$ と $6 x^{2}$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} + 6 x h + 2 h^{2}$

ステップ 5

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{h \to 0} 6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

ステップ 6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $6 x^{2}$ の極限値を求めます。

$6 x^{2} + lim_{h \to 0} 6 x h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

ステップ 7

$6 x$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 h^{2}$

ステップ 8

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 lim_{h \to 0} h^{2}$

ステップ 9

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $h^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$6 x^{2} + 6 x lim_{h \to 0} h + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

ステップ 10

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 10.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

ステップ 10.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$6 x^{2} + 6 x \cdot 0 + 2 \cdot 0^{2}$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$6 x \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 11.1.1.1

$0$ に $6$ をかけます。

$6 x^{2} + 0 x + 2 \cdot 0^{2}$

ステップ 11.1.1.2

$0$ に $x$ をかけます。

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0^{2}$

ステップ 11.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$6 x^{2} + 0 + 2 \cdot 0$

ステップ 11.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$6 x^{2} + 0 + 0$

ステップ 11.2

$6 x^{2} + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 11.2.1

$6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$6 x^{2} + 0$

ステップ 11.2.2

$6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$6 x^{2}$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例