微分積分例

$f (x) = x^{3} - 5$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 5$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

二項定理を利用します。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$ です。

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

ステップ 2.2

並べ替えます。

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ステップ 2.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 5$

ステップ 2.2.2

$x$ を移動させます。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5$

ステップ 2.2.3

$x^{3}$ を移動させます。

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 5$

ステップ 2.2.4

$3 h x^{2}$ を移動させます。

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

ステップ 2.2.5

$3 h^{2} x$ と $h^{3}$ を並べ替えます。

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

$f (x) = x^{3} - 5$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5$

$f (x) = x^{3} - 5$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - (x^{3} - 5)}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - x^{3} + 5}{h}$

ステップ 4.1.2

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 - x^{3} + 5}{h}$

ステップ 4.1.3

$x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0 - 5 + 5}{h}$

ステップ 4.1.4

$h^{3}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 + 5}{h}$

ステップ 4.1.5

$- 5$ と $5$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 0}{h}$

ステップ 4.1.6

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.7

$h$ を $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.7.1

$h$ を $h^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.7.2

$h$ を $3 h^{2} x$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.7.3

$h$ を $3 h x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

ステップ 4.1.7.4

$h$ を $h (h^{2}) + h (3 h x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})}{h}$

ステップ 4.1.7.5

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

ステップ 4.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}$

ステップ 4.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$h$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2}$

ステップ 4.2.2.2

$h^{2}$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2}$

ステップ 4.2.2.3

$3 x h$ と $3 x^{2}$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2}$

ステップ 5

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

ステップ 6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $3 x^{2}$ の極限値を求めます。

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2}$

ステップ 7

$3 x$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2}$

ステップ 8

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $h^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

ステップ 9

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 9.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

ステップ 9.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2}$

ステップ 10

答えを簡約します。

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ステップ 10.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1

$3 x \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 10.1.1.1

$0$ に $3$ をかけます。

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2}$

ステップ 10.1.1.2

$0$ に $x$ をかけます。

$3 x^{2} + 0 + 0^{2}$

ステップ 10.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 x^{2} + 0 + 0$

ステップ 10.2

$3 x^{2} + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 10.2.1

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 10.2.2

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 11

微分積分 例

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