微分積分例

$f (x) = 3 x^{2}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h))$

ステップ 2.1.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

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ステップ 2.1.2.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h))$

ステップ 2.1.2.2.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

ステップ 2.1.2.2.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

ステップ 2.1.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

ステップ 2.1.2.3.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

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ステップ 2.1.2.3.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

ステップ 2.1.2.3.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

ステップ 2.1.2.4

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2}$

ステップ 2.1.2.5

$2$ に $3$ をかけます。

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

ステップ 2.1.2.6

最終的な答えは $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$ です。

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2}$

ステップ 2.2

並べ替えます。

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ステップ 2.2.1

$3 x^{2}$ を移動させます。

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2}$

ステップ 2.2.2

$6 h x$ と $3 h^{2}$ を並べ替えます。

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2}$

$f (x) = 3 x^{2}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - (3 x^{2})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} - 3 x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.2

$3 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 0}{h}$

ステップ 4.1.3

$3 h^{2} + 6 h x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x}{h}$

ステップ 4.1.4

$3 h$ を $3 h^{2} + 6 h x$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.4.1

$3 h$ を $3 h^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x}{h}$

ステップ 4.1.4.2

$3 h$ を $6 h x$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x)}{h}$

ステップ 4.1.4.3

$3 h$ を $3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

ステップ 4.2

項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x)}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$3 (h + 2 x)$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x)$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x)$

ステップ 4.2.3

式を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x$

ステップ 4.2.3.2

$3 h$ と $6 x$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

ステップ 5.2

$h$ が $0$ に近づくと定数である $6 x$ の極限値を求めます。

$6 x + lim_{h \to 0} 3 h$

ステップ 5.3

$3$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$6 x + 3 lim_{h \to 0} h$

ステップ 6

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$6 x + 3 \cdot 0$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$3$ に $0$ をかけます。

$6 x + 0$

ステップ 7.2

$6 x$ と $0$ をたし算します。

$6 x$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例