微分積分例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

ステップ 3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

ステップ 3.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

ステップ 3.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

ステップ 3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

ステップ 3.6

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.4.1

共通因数を約分します。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.6.4.2

式を書き換えます。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

ステップ 3.6.5

簡約します。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

ステップ 4

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

ステップ 4.1.2

最終的な答えは $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ です。

$\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

ステップ 4.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

ステップ 5

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} - (\frac{\sqrt{x}}{x})}{h}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

ステップ 6.1.2

$- \frac{\sqrt{x}}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h}{x + h}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

ステップ 6.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.1.3.1

$\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

ステップ 6.1.3.2

$\frac{\sqrt{x}}{x}$ に $\frac{x + h}{x + h}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.3.3

$(x + h) x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{x (x + h)} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5

因数分解した形で $\frac{\sqrt{x + h} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}$ を書き換えます。

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ステップ 6.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + h}$ を ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.4

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 6.1.5.4.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.4.2

$x$ に $x^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 6.1.5.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{1 + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.4.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2 + 1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.4.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.5

因数分解した形で ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.5.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.5.1.1

${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ と $x$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.5.1.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.5.1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- x^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.5.1.4

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- x^{\frac{1}{2}} h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.5.1.5

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}})$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.5.1.6

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} - h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.5.2

$2$ を $2$ で割ります。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.5.3

簡約します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.6

今日数因数で約分することで式 $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}$ を約分します。

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ステップ 6.1.5.6.1

$x$ を $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h))}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.6.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h))}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 6.1.5.6.3

式を書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x + h}}{h}$

ステップ 6.1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

ステップ 6.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 6.3

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{h}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

ステップ 6.4

$\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

ステップ 7

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 7.1

分数指数を根に変換します。

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ステップ 7.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

ステップ 7.1.2

${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x + h}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

ステップ 7.1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h} - x - h}{h \sqrt{x} (x + h)}$

ステップ 7.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x (x + h)} - x - h}{h \sqrt{x} (x + h)}$

ステップ 8

Since the numerator is negative and the denominator $h \sqrt{x} (x + h)$ approaches zero and is less than zero for $h$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例