微分積分例

$f (x) = x^{3} + 1$ , $[2, 3]$

ステップ 1

$f (x) = x^{3} + 1$ の微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.4

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2}$ です。

$3 x^{2}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

$f' (x)$ は $[2, 3]$ で連続します。

$f' (x)$ は連続します

ステップ 4

関数 $f'$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 5

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\int_{2}^{3} 3 x^{2} d x)$

ステップ 6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 \int_{2}^{3} x^{2} d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{3}))$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{3}))$

ステップ 8.2

代入し簡約します。

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ステップ 8.2.1

$3$ および $2$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2

簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$3$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2.2

$27$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.2.1

$3$ を $27$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{2^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{2^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{2^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9}{1} - \frac{2^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2.2.2.4

$9$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{2^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2.3

$2$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 - \frac{8}{3}))$

ステップ 8.2.2.4

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}))$

ステップ 8.2.2.5

$9$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3}))$

ステップ 8.2.2.6

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{9 \cdot 3 - 8}{3}))$

ステップ 8.2.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.2.7.1

$9$ に $3$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{27 - 8}{3}))$

ステップ 8.2.2.7.2

$27$ から $8$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (3 (\frac{19}{3}))$

ステップ 8.2.2.8

$3$ と $\frac{19}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

ステップ 8.2.2.9

$3$ に $19$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{57}{3})$

ステップ 8.2.2.10

$57$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.10.1

$3$ を $57$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3})$

ステップ 8.2.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.10.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 (1)})$

ステップ 8.2.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 1})$

ステップ 8.2.2.10.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (\frac{19}{1})$

ステップ 8.2.2.10.2.4

$19$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{3 - 2} (19)$

ステップ 9

$3$ から $2$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

ステップ 10

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 19$

ステップ 10.2

式を書き換えます。

$A (x) = 1 \cdot 19$

ステップ 11

$19$ に $1$ をかけます。

$A (x) = 19$

ステップ 12

微分積分 例

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