微分積分例

$f (x) = 2 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

ステップ 1

$f (x) = 2 \sqrt{x}$ の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.1.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 1.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.1.6

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 1.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 1.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.1.10

$2$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.1.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.12

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.13

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f' (x)$ が $[4, 9]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}}$

ステップ 2.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

ステップ 2.2

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.3

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{x} = 0$

ステップ 2.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 2.4.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 2.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 2.4.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 2.4.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{2}$

ステップ 2.4.2.2.1.2

簡約します。

$x = 0^{2}$

ステップ 2.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 2.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

ステップ 3

$f' (x)$ は $[4, 9]$ で連続します。

$f' (x)$ は連続します

ステップ 4

関数 $f'$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 5

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

ステップ 6.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

ステップ 6.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 x^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

ステップ 8

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$9$ および $4$ で $2 x^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2.3.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2.4

指数を求めます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2.5

$2$ に $3$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2.6

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 8.2.7

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

ステップ 8.2.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.8.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

ステップ 8.2.8.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

ステップ 8.2.9

指数を求めます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

ステップ 8.2.10

$- 2$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 4)$

ステップ 8.2.11

$6$ から $4$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2)$

ステップ 9

$9$ から $4$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 2$

ステップ 10

$\frac{1}{5}$ と $2$ をまとめます。

$A (x) = \frac{2}{5}$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例