微分積分例

$y = 4 - x^{2}$ , $[- 2, 2]$

ステップ 1

$f (x) = 4 - x^{2}$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 1.2

$f (x)$ は $[- 2, 2]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2

$f (x) = 4 - x^{2}$ が微分可能か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

総和則では、 $4 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.1.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 2.1.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 2.1.1.3

$0$ から $2 x$ を引きます。

$f' (x) = - 2 x$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x$ です。

$- 2 x$

ステップ 2.2

微分係数が $[- 2, 2]$ 上で連続か求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2.2

$f' (x)$ は $[- 2, 2]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2.3

微分係数が $[- 2, 2]$ で連続なので、関数は $[- 2, 2]$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 3

弧長を保証するためには、関数とその微分係数がともに閉区間 $[- 2, 2]$ 上で連続であることが必要です。

関数とその微分係数は閉区間 $[- 2, 2]$ 上で連続です。

ステップ 4

$f (x) = 4 - x^{2}$ の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

総和則では、 $4 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.1.2

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 4.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (2 x)$

ステップ 4.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 x$

ステップ 4.3

$0$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x$

ステップ 5

関数の弧の長さを求めるために公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ を利用してます。

$\int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + {(- 2 x)}^{2}} d x$

ステップ 6

積分を求めます。

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ステップ 6.1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ とします。次に $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ は正であることに注意します。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.2

項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\tan (t)$ をまとめます。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.2.1.1.2

積の法則を $\frac{\tan (t)}{2}$ に当てはめます。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.2.1.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.2.1.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.2.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.2.1.2

項を並べ替えます。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.2.1.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.2.1.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$\sec (t)$ と $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ をまとめます。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.2.2.2

指数を足して $\sec (t)$ に $\sec^{2} (t)$ を掛けます。

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ステップ 6.2.2.2.1

$\sec (t)$ に $\sec^{2} (t)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

$\sec (t)$ を $1$ 乗します。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

ステップ 6.2.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

ステップ 6.2.2.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec^{3} (t) d t$

ステップ 6.4

換算公式を当てはめます。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) d t)$

ステップ 6.5

$\sec (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766})$

ステップ 6.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$\frac{1}{2}$ と $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

ステップ 6.6.2

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

ステップ 6.6.3

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

ステップ 6.6.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

ステップ 6.6.5

$2$ を $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

ステップ 6.6.6

$\frac{1}{2}$ に $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$ をかけます。

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.6.7

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

ステップ 6.7

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.7.1

$1.32581766$ および $- 1.32581766$ で $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ の値を求めます。

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

ステップ 6.7.2

$1.32581766$ および $- 1.32581766$ で $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ の値を求めます。

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + (\ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |)) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

ステップ 6.7.3

不要な括弧を削除します。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

ステップ 6.8

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

ステップ 6.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.1.1

$\tan (- 1.32581766)$ の値を求めます。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

ステップ 6.9.1.2

$\sec (- 1.32581766)$ の値を求めます。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \cdot 4.12310562}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

ステップ 6.9.2

$- 4$ に $4.12310562$ をかけます。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 16.4924225}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

ステップ 6.9.3

$- 16.4924225$ を $2$ で割ります。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - - 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

ステップ 6.9.4

$- 1$ に $- 8.24621125$ をかけます。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

ステップ 6.9.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.9.5.1.1

$\tan (1.32581766)$ の値を求めます。

$\frac{2 (\frac{4 \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

ステップ 6.9.5.1.2

$\sec (1.32581766)$ の値を求めます。

$\frac{2 (\frac{4 \cdot 4.12310562}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

ステップ 6.9.5.2

$4$ に $4.12310562$ をかけます。

$\frac{2 (\frac{16.4924225}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

ステップ 6.9.5.3

$16.4924225$ を $2$ で割ります。

$\frac{2 (8.24621125 + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

ステップ 6.9.6

$8.24621125$ と $8.24621125$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot 16.4924225 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

ステップ 6.9.7

$2$ に $16.4924225$ をかけます。

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

ステップ 6.9.8

$\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)$ は約 $8.12310562$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

ステップ 6.9.9

$\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)$ は約 $0.12310562$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

10進法形式：

$9.29356752 \dots$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例