微分積分例

$f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ , $[0, 4]$

ステップ 1

$f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ が連続関数か確認します。

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ステップ 1.1

関数が $[0, 4]$ で連続か求めるために、 $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{4}{5} \sqrt[4]{x^{5}}$

ステップ 1.1.2

$\sqrt[4]{x^{5}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{5} \geq 0$

ステップ 1.1.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.1.3.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt[5]{x^{5}} \geq \sqrt[5]{0}$

ステップ 1.1.3.2

方程式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$x \geq \sqrt[5]{0}$

ステップ 1.1.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.2.1

$\sqrt[5]{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.2.1.1

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$x \geq \sqrt[5]{0^{5}}$

ステップ 1.1.3.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x \geq 0$

ステップ 1.1.4

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

ステップ 1.2

$f (x)$ は $[0, 4]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2

$f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ が微分可能か確認します。

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ステップ 2.1

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1.1

$\frac{4}{5}$ と $x^{\frac{5}{4}}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

ステップ 2.1.1.2

$\frac{4}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ の微分係数は $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ です。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

ステップ 2.1.1.3

$n = \frac{5}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

ステップ 2.1.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

ステップ 2.1.1.5

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

ステップ 2.1.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

ステップ 2.1.1.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1.7.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

ステップ 2.1.1.7.2

$5$ から $4$ を引きます。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

ステップ 2.1.1.8

$\frac{5}{4}$ と $x^{\frac{1}{4}}$ をまとめます。

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

ステップ 2.1.1.9

$\frac{4}{5}$ に $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ をかけます。

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

ステップ 2.1.1.10

掛け算します。

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ステップ 2.1.1.10.1

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

ステップ 2.1.1.10.2

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

ステップ 2.1.1.11

共通因数を約分します。

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

ステップ 2.1.1.12

$x^{\frac{1}{4}}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{\frac{1}{4}}$ です。

$x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 2.2

微分係数が $[0, 4]$ 上で連続か求めます。

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ステップ 2.2.1

関数が $[0, 4]$ で連続か求めるために、 $f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.2.1.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 2.2.1.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\sqrt[4]{x^{1}}$

ステップ 2.2.1.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\sqrt[4]{x}$

ステップ 2.2.1.2

$\sqrt[4]{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 2.2.1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

ステップ 2.2.2

$f' (x)$ は $[0, 4]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 2.3

微分係数が $[0, 4]$ で連続なので、関数は $[0, 4]$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 3

弧長を保証するためには、関数とその微分係数がともに閉区間 $[0, 4]$ 上で連続であることが必要です。

関数とその微分係数は閉区間 $[0, 4]$ 上で連続です。

ステップ 4

$f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ の微分係数を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{4}{5}$ と $x^{\frac{5}{4}}$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

ステップ 4.2

$\frac{4}{5}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ の微分係数は $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ です。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

ステップ 4.3

$n = \frac{5}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

ステップ 4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

ステップ 4.5

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

ステップ 4.7.2

$5$ から $4$ を引きます。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

ステップ 4.8

$\frac{5}{4}$ と $x^{\frac{1}{4}}$ をまとめます。

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

ステップ 4.9

$\frac{4}{5}$ に $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ をかけます。

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

ステップ 4.10

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.10.1

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

ステップ 4.10.2

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

ステップ 4.11

共通因数を約分します。

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

ステップ 4.12

$x^{\frac{1}{4}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{1}{4}}$

ステップ 5

関数の弧の長さを求めるために公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ を利用してます。

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}} d x$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例