微分積分例

$\int_{0}^{5} 3000 e^{- 0.05 x} d x$

ステップ 1

$3000$ は $x$ に対して定数なので、 $3000$ を積分の外に移動させます。

$3000 \int_{0}^{5} e^{- 0.05 x} d x$

ステップ 2

$u = - 0.05 x$ とします。次に $d u = - 0.05 d x$ すると、 $\frac{1}{- 0.05} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = - 0.05 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 0.05 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 0.05 x]$

ステップ 2.1.2

$- 0.05$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.05 x$ の微分係数は $- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 0.05 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$- 0.05$ に $1$ をかけます。

$- 0.05$

ステップ 2.2

$u = - 0.05 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0.05 \cdot 0$

ステップ 2.3

$- 0.05$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 2.4

$u = - 0.05 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 0.05 \cdot 5$

ステップ 2.5

$- 0.05$ に $5$ をかけます。

$u_{upper} = - 0.25$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.25$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} \frac{1}{- 0.05} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分数の前に負数を移動させます。

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} (- \frac{1}{0.05}) d u$

ステップ 3.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{0.05}$ をまとめます。

$3000 \int_{0}^{- 0.25} - \frac{e^{u}}{0.05} d u$

ステップ 4

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$3000 (- \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u)$

ステップ 5

$- 1$ に $3000$ をかけます。

$- 3000 \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{0.05}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{0.05}$ を積分の外に移動させます。

$- 3000 (\frac{1}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{0.05}$ と $- 3000$ をまとめます。

$\frac{- 3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

ステップ 7.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

ステップ 8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{3000}{0.05} e^{u}]_{0}^{- 0.25}$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$- 0.25$ および $0$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$- \frac{3000}{0.05} ((e^{- 0.25}) - e^{0})$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1 \cdot 1)$

ステップ 9.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$3000$ を $0.05$ で割ります。

$- 1 \cdot 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

ステップ 10.2

$- 1$ に $60000$ をかけます。

$- 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

ステップ 10.3

分配則を当てはめます。

$- 60000 e^{- 0.25} - 60000 \cdot - 1$

ステップ 10.4

$- 60000$ に $- 1$ をかけます。

$- 60000 e^{- 0.25} + 60000$

ステップ 10.5

各項を簡約します。

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ステップ 10.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 60000 \frac{1}{e^{0.25}} + 60000$

ステップ 10.5.2

$- 60000$ と $\frac{1}{e^{0.25}}$ をまとめます。

$\frac{- 60000}{e^{0.25}} + 60000$

ステップ 10.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

10進法形式：

$13271.95301571 \dots$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例