微分積分例

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - (x + h)}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{x + h}{6 - x - h}$ です。

$\frac{x + h}{6 - x - h}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h}{6 - x - h} - (\frac{x}{6 - x})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{x + h}{6 - x - h}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6 - x}{6 - x}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{x}{6 - x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(6 - x - h) (6 - x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{x + h}{6 - x - h}$ に $\frac{6 - x}{6 - x}$ をかけます。

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{x}{6 - x}$ に $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ をかけます。

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$(6 - x - h) (6 - x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x) (6 - x - h)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5

因数分解した形で $\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (6 - x)$ を展開します。

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ステップ 4.1.5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{x (6 - x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.2.1

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{6 \cdot x + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{6 x - x \cdot x + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.2.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{6 x - (x \cdot x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.4

$6$ を $h$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 \cdot h + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x \cdot 6 - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

簡約します。

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ステップ 4.1.5.4.1

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.4.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.4.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.5.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.5.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.3

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.5

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6

$6 x$ から $6 x$ を引きます。

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + 0 + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7

$- x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{\frac{6 h - h x + 0 + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.9

$6 h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{- h x + 6 h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10

$- h x$ と $x h$ をたし算します。

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ステップ 4.1.5.10.1

$h$ を移動させます。

$\frac{\frac{6 h - x h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10.2

$- x h$ と $x h$ をたし算します。

$\frac{\frac{6 h + 0}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.11

$6 h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$h$ を $6 h$ で因数分解します。

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{6}{(6 - x) (6 - x - h)}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例