微分積分例

$\int_{0}^{1} y {(y^{2} + 1)}^{5} d y$

ステップ 1

$u = y^{2} + 1$ とします。次に $d u = 2 y d y$ すると、 $\frac{1}{2} d u = y d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = y^{2} + 1$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$y^{2} + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $y^{2} + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

ステップ 1.1.4

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 y + 0$

ステップ 1.1.5

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$2 y$

ステップ 1.2

$u = y^{2} + 1$ の $y$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 0 + 1$

ステップ 1.3.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 1.4

$u = y^{2} + 1$ の $y$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1 + 1$

ステップ 1.5.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{2} u^{5} \frac{1}{2} d u$

ステップ 2

$u^{5}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{1}^{2} \frac{u^{5}}{2} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{5} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{5}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{6} u^{6}$ です。

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{2}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ および $1$ で $\frac{1}{6} u^{6}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 2^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $6$ 乗します。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{6}$ と $64$ をまとめます。

$\frac{1}{2} (\frac{64}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

ステップ 5.2.3

$64$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$2$ を $64$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

ステップ 5.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

ステップ 5.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6})$

ステップ 5.2.6

$\frac{32}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

ステップ 5.2.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.2.7.1

$\frac{32}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

ステップ 5.2.7.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6})$

ステップ 5.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{6}$

ステップ 5.2.9

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.9.1

$32$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{6}$

ステップ 5.2.9.2

$64$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{6}$

ステップ 5.2.10

$63$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.10.1

$3$ を $63$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (21)}{6}$

ステップ 5.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.10.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

ステップ 5.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

ステップ 5.2.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2}$

ステップ 5.2.11

$\frac{1}{2}$ に $\frac{21}{2}$ をかけます。

$\frac{21}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.2.12

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{21}{4}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{21}{4}$

10進法形式：

$5.25$

帯分数形：

$5 \frac{1}{4}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例