微分積分例

$\int_{0}^{2} \frac{2 t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

ステップ 1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{2} \frac{t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

ステップ 2

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$

ステップ 2.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(t - 3)}^{2}$ です。

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

ステップ 2.1.4

${(t - 3)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

ステップ 2.1.4.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

ステップ 2.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

${(t - 3)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$t = \frac{A {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

ステップ 2.1.5.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$t = A + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

ステップ 2.1.5.2

${(t - 3)}^{2}$ と $t - 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.1

$t - 3$ を $(B) {(t - 3)}^{2}$ で因数分解します。

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{t - 3}$

ステップ 2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.2.2.1

$1$ を掛けます。

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

ステップ 2.1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

ステップ 2.1.5.2.2.3

式を書き換えます。

$t = A + \frac{B (t - 3)}{1}$

ステップ 2.1.5.2.2.4

$B (t - 3)$ を $1$ で割ります。

$t = A + B (t - 3)$

ステップ 2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$t = A + B t + B \cdot - 3$

ステップ 2.1.5.4

$- 3$ を $B$ の左に移動させます。

$t = A + B t - 3 B$

ステップ 2.1.6

$A$ と $B t$ を並べ替えます。

$t = B t + A - 3 B$

ステップ 2.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

式の両辺から $t$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = B$

ステップ 2.2.2

式の両辺から $t$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A - 3 B$

ステップ 2.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

ステップ 2.3

連立方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

方程式を $B = 1$ として書き換えます。

$B = 1$

$0 = A - 3 B$

ステップ 2.3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

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ステップ 2.3.2.1

$0 = A - 3 B$ の $B$ のすべての発生を $1$ で置き換えます。

$0 = A - 3 \cdot 1$

$B = 1$

ステップ 2.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

ステップ 2.3.3

$0 = A - 3$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

方程式を $A - 3 = 0$ として書き換えます。

$A - 3 = 0$

$B = 1$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

ステップ 2.3.4

連立方程式を解きます。

$A = 3 B = 1$

ステップ 2.3.5

すべての解をまとめます。

$A = 3, B = 1$

ステップ 2.4

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3}$

ステップ 2.5

式から0を削除します。

$2 \int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3} d t$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$2 (\int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

ステップ 4

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$2 (3 \int_{0}^{2} \frac{1}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

ステップ 5

$u_{1} = t - 3$ とします。次に $d u_{1} = d t$ 。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{1} = t - 3$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$t - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $t - 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

ステップ 5.1.4

$- 3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u_{1} = t - 3$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 - 3$

ステップ 5.3

$0$ から $3$ を引きます。

$u_{lower} = - 3$

ステップ 5.4

$u_{1} = t - 3$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 - 3$

ステップ 5.5

$2$ から $3$ を引きます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 5.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

${u_{1}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

ステップ 6.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

ステップ 6.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

ステップ 7

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- 2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $- {u_{1}}^{- 1}$ です。

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

ステップ 8

$u_{2} = t - 3$ とします。次に $d u_{2} = d t$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{2} = t - 3$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$t - 3$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

ステップ 8.1.2

総和則では、 $t - 3$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ です。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

ステップ 8.1.4

$- 3$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 8.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 8.2

$u_{2} = t - 3$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 0 - 3$

ステップ 8.3

$0$ から $3$ を引きます。

$u_{lower} = - 3$

ステップ 8.4

$u_{2} = t - 3$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 - 3$

ステップ 8.5

$2$ から $3$ を引きます。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 8.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 8.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 9

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ および $- 3$ で $- {u_{1}}^{- 1}$ の値を求めます。

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

ステップ 10.2

$- 1$ および $- 3$ で $\ln (| u_{2} |)$ の値を求めます。

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 (3 (- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.2

$\frac{1}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$2 (3 (- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (3 (- - 1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 (3 (1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 (3 (1 + \frac{1}{- 3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.6

分数の前に負数を移動させます。

$2 (3 (1 - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$2 (3 (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.8

公分母の分子をまとめます。

$2 (3 \frac{3 - 1}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.9

$3$ から $1$ を引きます。

$2 (3 (\frac{2}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.10

$3$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.11

$3$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{6}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.12

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.12.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.12.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.12.2.2

共通因数を約分します。

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.12.2.3

式を書き換えます。

$2 (\frac{2}{1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 10.3.12.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$2 (2 + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

$2 (2 + \ln (| - 1 |) - \ln (| - 3 |))$

ステップ 11

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$2 (2 + \ln (\frac{| - 1 |}{| - 3 |}))$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 1$ と $0$ の間の距離は $1$ です。

$2 (2 + \ln (\frac{1}{| - 3 |}))$

ステップ 12.1.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 3$ と $0$ の間の距離は $3$ です。

$2 (2 + \ln (\frac{1}{3}))$

ステップ 12.2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 2 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

ステップ 12.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

10進法形式：

$1.80277542 \dots$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例