微分積分例

$\int_{0}^{2} | z - z^{2} | d z$

ステップ 1

$z - z^{2}$ が正と負の場所によって、積分を分割します。

$\int_{0}^{1} z - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} z d z + \int_{0}^{1} - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

ステップ 3

べき乗則では、 $z$ の $z$ に関する積分は $\frac{1}{2} z^{2}$ です。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

ステップ 4

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

ステップ 5

べき乗則では、 $z^{2}$ の $z$ に関する積分は $\frac{1}{3} z^{3}$ です。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ と $z^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z d z + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

ステップ 8

$- 1$ は $z$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - \int_{1}^{2} z d z + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

ステップ 9

べき乗則では、 $z$ の $z$ に関する積分は $\frac{1}{2} z^{2}$ です。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{1}{2} z^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ と $z^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

ステップ 11

べき乗則では、 $z^{2}$ の $z$ に関する積分は $\frac{1}{3} z^{3}$ です。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

ステップ 12

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$1$ および $0$ で $\frac{1}{2} z^{2}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

ステップ 12.2

$1$ および $0$ で $\frac{z^{3}}{3}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

ステップ 12.3

$2$ および $1$ で $\frac{z^{2}}{2}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

ステップ 12.4

$2$ および $1$ で $\frac{1}{3} z^{3}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.4

$0$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.5

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.6

$\frac{1}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.8

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.9

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.9.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.9.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.9.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.10

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.11

$\frac{1}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.12

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.13

$- \frac{1}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.14

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.14.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.14.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.14.3

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.14.4

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 - 2}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.16

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.17

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{6} - (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.18

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.18.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.18.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.18.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.18.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.18.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{6} - (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.18.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{6} - (2 - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.19

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{6} - (2 - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.20

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{6} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.21

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.22

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.23

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.23.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{6} - \frac{4 - 1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.23.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{6} - \frac{3}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.24

$- \frac{3}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{6} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.25

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.25.1

$\frac{3}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{6} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.25.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{6} - \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.26

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 3 \cdot 3}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.27

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.27.1

$- 3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1 - 9}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.27.2

$1$ から $9$ を引きます。

$\frac{- 8}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.28

$- 8$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.28.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 4)}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.28.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.28.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.28.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.28.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.29

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.30

$2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.31

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

ステップ 12.5.32

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 12.5.33

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 12.5.34

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{4}{3} + \frac{8 - 1}{3}$

ステップ 12.5.35

$8$ から $1$ を引きます。

$- \frac{4}{3} + \frac{7}{3}$

ステップ 12.5.36

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 4 + 7}{3}$

ステップ 12.5.37

$- 4$ と $7$ をたし算します。

$\frac{3}{3}$

ステップ 12.5.38

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.5.38.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3}$

ステップ 12.5.38.2

式を書き換えます。

$1$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例