微分積分例

$\int_{1}^{8} \frac{8}{3 x^{5}} d x$

ステップ 1

$\frac{8}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{8}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} \frac{1}{x^{5}} d x$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$x^{5}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} {(x^{5})}^{- 1} d x$

ステップ 2.2

${(x^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{5 \cdot - 1} d x$

ステップ 2.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{- 5} d x$

ステップ 3

べき乗則では、 $x^{- 5}$ の $x$ に関する積分は $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ です。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{4} x^{- 4}]_{1}^{8}$

ステップ 4

代入し簡約します。

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ステップ 4.1

$8$ および $1$ で $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ の値を求めます。

$\frac{8}{3} ((- \frac{1}{4} \cdot 8^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{4}} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 4.2.2

$8$ を $4$ 乗します。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4096} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 4.2.3

$\frac{1}{4096}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4096 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 4.2.4

$4096$ に $4$ をかけます。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

ステップ 4.2.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1)$

ステップ 4.2.6

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4})$

ステップ 4.2.7

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4096}{4096}$ を掛けます。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4096}{4096})$

ステップ 4.2.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $16384$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.2.8.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{4096}{4096}$ をかけます。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{4 \cdot 4096})$

ステップ 4.2.8.2

$4$ に $4096$ をかけます。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{16384})$

ステップ 4.2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8}{3} \cdot \frac{- 1 + 4096}{16384}$

ステップ 4.2.10

$- 1$ と $4096$ をたし算します。

$\frac{8}{3} \cdot \frac{4095}{16384}$

ステップ 4.2.11

$\frac{8}{3}$ に $\frac{4095}{16384}$ をかけます。

$\frac{8 \cdot 4095}{3 \cdot 16384}$

ステップ 4.2.12

$8$ に $4095$ をかけます。

$\frac{32760}{3 \cdot 16384}$

ステップ 4.2.13

$3$ に $16384$ をかけます。

$\frac{32760}{49152}$

ステップ 4.2.14

$32760$ と $49152$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.14.1

$24$ を $32760$ で因数分解します。

$\frac{24 (1365)}{49152}$

ステップ 4.2.14.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.14.2.1

$24$ を $49152$ で因数分解します。

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

ステップ 4.2.14.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

ステップ 4.2.14.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1365}{2048}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1365}{2048}$

10進法形式：

$0.66650390 \dots$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例