微分積分例

$\int_{1}^{4} \sqrt{16 x^{5}} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$16 x^{5}$ を ${(4 x^{2})}^{2} x$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} x^{5}} d x$

ステップ 1.1.2

$x^{4}$ を因数分解します。

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} (x^{4} x)} d x$

ステップ 1.1.3

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} ({(x^{2})}^{2} x)} d x$

ステップ 1.1.4

$4^{2} {(x^{2})}^{2}$ を ${(4 x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} \sqrt{{(4 x^{2})}^{2} x} d x$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} \sqrt{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

ステップ 2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\int_{1}^{4} 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

ステップ 2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

ステップ 2.2.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

ステップ 2.2.4

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

ステップ 2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

ステップ 2.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

ステップ 2.2.6.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{5}{2}} d x$

ステップ 3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{\frac{5}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ です。

$4 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}]_{1}^{4})$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{2}{7}$ と $x^{\frac{7}{2}}$ をまとめます。

$4 (\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}]_{1}^{4})$

ステップ 5.2

代入し簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4$ および $1$ で $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$ の値を求めます。

$4 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{7}{2}}}{7}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

ステップ 5.2.2

簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$4 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

ステップ 5.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

ステップ 5.2.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

ステップ 5.2.2.3.2

式を書き換えます。

$4 (\frac{2 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

ステップ 5.2.2.4

$2$ を $7$ 乗します。

$4 (\frac{2 \cdot 128}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

ステップ 5.2.2.5

$2$ に $128$ をかけます。

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

ステップ 5.2.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1}{7})$

ステップ 5.2.2.7

$2$ に $1$ をかけます。

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2}{7})$

ステップ 5.2.2.8

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{256 - 2}{7}$

ステップ 5.2.2.9

$256$ から $2$ を引きます。

$4 (\frac{254}{7})$

ステップ 5.2.2.10

$4$ と $\frac{254}{7}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 254}{7}$

ステップ 5.2.2.11

$4$ に $254$ をかけます。

$\frac{1016}{7}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1016}{7}$

10進法形式：

$145.14285714 \dots$

帯分数形：

$145 \frac{1}{7}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例