微分積分例

$\int x {(x + 7)}^{6} d x$

ステップ 1

$u = x + 7$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x + 7$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x + 7$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

ステップ 1.1.4

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 1.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int (u - 7) u^{6} d u$

ステップ 2

$(u - 7) u^{6}$ を掛けます。

$\int u \cdot u^{6} - 7 u^{6} d u$

ステップ 3

指数を足して $u$ に $u^{6}$ を掛けます。

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ステップ 3.1

$u$ に $u^{6}$ をかけます。

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ステップ 3.1.1

$u$ を $1$ 乗します。

$\int u^{1} u^{6} - 7 u^{6} d u$

ステップ 3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int u^{1 + 6} - 7 u^{6} d u$

ステップ 3.2

$1$ と $6$ をたし算します。

$\int u^{7} - 7 u^{6} d u$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int u^{7} d u + \int - 7 u^{6} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{7}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{8} u^{8}$ です。

$\frac{1}{8} u^{8} + C + \int - 7 u^{6} d u$

ステップ 6

$- 7$ は $u$ に対して定数なので、 $- 7$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 7 \int u^{6} d u$

ステップ 7

べき乗則では、 $u^{6}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{7} u^{7}$ です。

$\frac{1}{8} u^{8} + C - 7 (\frac{1}{7} u^{7} + C)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

$\frac{1}{8} u^{8} - 7 (\frac{1}{7}) u^{7} + C$

ステップ 8.2

簡約します。

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ステップ 8.2.1

$- 7$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{- 7}{7} u^{7} + C$

ステップ 8.2.2

$- 7$ と $7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$7$ を $- 7$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{7 \cdot - 1}{7} u^{7} + C$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.2.1

$7$ を $7$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{7 \cdot - 1}{7 (1)} u^{7} + C$

ステップ 8.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 1} u^{7} + C$

ステップ 8.2.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} u^{8} + \frac{- 1}{1} u^{7} + C$

ステップ 8.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{8} u^{8} - u^{7} + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x + 7$ で置き換えます。

$\frac{1}{8} {(x + 7)}^{8} - {(x + 7)}^{7} + C$

微分積分 例

微分積分例