微分積分例

$\int u^{2} \sin (2 u) d u$

ステップ 1

$w = u^{2}$ と $dv = \sin (2 u)$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$u^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 u)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\cos (2 u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$u^{2} (- \frac{\cos (2 u)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

ステップ 2.2

$u^{2}$ と $\frac{\cos (2 u)}{2}$ をまとめます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

ステップ 3

$- \frac{1}{2} \cdot 2$ は $u$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2} \cdot 2$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int \cos (2 u) (u) d u)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 u) (u) d u)$

ステップ 4.2

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

ステップ 4.3

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \cos (2 u) (u) d u)$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 1}{1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

ステップ 4.3.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - - \int \cos (2 u) (u) d u$

ステップ 4.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + 1 \int \cos (2 u) (u) d u$

ステップ 4.5

$\int \cos (2 u) (u) d u$ に $1$ をかけます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \int \cos (2 u) (u) d u$

ステップ 5

$w = u$ と $dv = \cos (2 u)$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u (\frac{1}{2} \sin (2 u)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 u)$ をまとめます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u \frac{\sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

ステップ 6.2

$u$ と $\frac{\sin (2 u)}{2}$ をまとめます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 u) d u)$

ステップ 8

$u_{1} = 2 u$ とします。次に $d u_{1} = 2 d u$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d u$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u_{1} = 2 u$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d u}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$2 u$ を微分します。

$\frac{d}{d u} [2 u]$

ステップ 8.1.2

$2$ は $u$ に対して定数なので、 $u$ に対する $2 u$ の微分係数は $2 \frac{d}{d u} [u]$ です。

$2 \frac{d}{d u} [u]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 8.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 9

$\sin (u_{1})$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1}$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 12

$\sin (u_{1})$ の $u_{1}$ に関する積分は $- \cos (u_{1})$ です。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$

ステップ 13

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$ を $- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$ に書き換えます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$

ステップ 14

$u_{1}$ のすべての発生を $2 u$ で置き換えます。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (2 u)}{4} + C$

ステップ 15

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{2} u^{2} \cos (2 u) + \frac{1}{2} u \sin (2 u) + \frac{1}{4} \cos (2 u) + C$

微分積分 例

微分積分例