微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) \sin (\sin (2 x)) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 1.2

$u_{1} = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u_{1} = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

ステップ 1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

ステップ 1.5.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.5.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

ステップ 1.7

$u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{2}$ と $\cos (u_{1})$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1})}{2} \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 2.2

$\frac{\cos (u_{1})}{2}$ と $\sin (\sin (u_{1}))$ をまとめます。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1}))}{2} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

ステップ 4

$u_{2} = \sin (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u_{2} = \sin (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\sin (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

ステップ 4.1.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1})$

ステップ 4.2

$u_{2} = \sin (u_{1})$ の $u_{1}$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (0)$

ステップ 4.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u_{2} = \sin (u_{1})$ の $u_{1}$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 4.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 4.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 5

$\sin (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \cos (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2} - \cos (u_{2})]_{0}^{1}$

ステップ 6

$1$ および $0$ で $- \cos (u_{2})$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + \cos (0))$

ステップ 7

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + 1)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\cos (1)$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

ステップ 8.2

$- 1$ に $0.5403023$ をかけます。

$\frac{1}{2} (- 0.5403023 + 1)$

ステップ 8.3

$- 0.5403023$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2} \cdot 0.45969769$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2}$ と $0.45969769$ をまとめます。

$\frac{0.45969769}{2}$

ステップ 8.5

$0.45969769$ を $2$ で割ります。

$0.22984884$

微分積分 例

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