微分積分例

$e^{4 x} + e^{- x}$

ステップ 1

$e^{4 x} + e^{- x}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $e^{4 x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.2.5

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 2.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 2.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 2.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 2.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $4 e^{4 x} - e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 e^{4 x}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 3.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 3.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 3.2.3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 3.2.5

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 3.2.6

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 3.2.7

$4$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

ステップ 3.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 3.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 3.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

ステップ 3.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

ステップ 3.3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

ステップ 3.3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

ステップ 3.3.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

ステップ 3.3.9

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

総和則では、 $e^{4 x} + e^{- x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 5.1.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 5.1.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 5.1.2.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 5.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 5.1.2.4

$4$ に $1$ をかけます。

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 5.1.2.5

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 5.1.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 5.1.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 5.1.3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 5.1.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

ステップ 5.1.3.5

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

ステップ 5.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 e^{4 x} - e^{- x}$ です。

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

ステップ 6.2

両辺に $- e^{- x}$ を加えて方程式の右辺に移動させます。

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

ステップ 6.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

ステップ 6.4

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$\ln (4 e^{4 x})$ を $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ に書き換えます。

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

ステップ 6.4.2

$4 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{4 x})$ を展開します。

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

ステップ 6.4.3

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

ステップ 6.4.4

$4$ に $1$ をかけます。

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

ステップ 6.5

右辺を展開します。

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ステップ 6.5.1

$- x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- x})$ を展開します。

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

ステップ 6.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

ステップ 6.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\ln (4) + 4 x = - x$

ステップ 6.6

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 6.6.1

方程式の両辺に $x$ を足します。

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

ステップ 6.6.2

$4 x$ と $x$ をたし算します。

$\ln (4) + 5 x = 0$

ステップ 6.7

方程式の両辺から $\ln (4)$ を引きます。

$5 x = - \ln (4)$

ステップ 6.8

$5 x = - \ln (4)$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.8.1

$5 x = - \ln (4)$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

ステップ 6.8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

ステップ 6.8.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

ステップ 6.8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

ステップ 9

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$16 e^{4 (- \frac{\ln (4)}{5})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\frac{\ln (4)}{5}$ を $\frac{1}{5} \ln (4)$ に書き換えます。

$16 e^{4 (- (\frac{1}{5} \ln (4)))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10.2

対数の中の $\frac{1}{5}$ を移動させて $\frac{1}{5} \ln (4)$ を簡約します。

$16 e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10.3

$4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$16 e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10.3.2

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ を簡約します。

$16 e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10.4

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ を簡約します。

$16 e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10.5

指数関数と対数関数は逆関数です。

$16 {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10.6

${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10.7

${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.7.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$16 \cdot 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10.7.2

$\frac{1}{5}$ と $- 4$ をまとめます。

$16 \cdot 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10.7.3

分数の前に負数を移動させます。

$16 \cdot 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$16 \cdot \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10.9

$16$ と $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}}$ をまとめます。

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

ステップ 10.10

$\frac{\ln (4)}{5}$ を $\frac{1}{5} \ln (4)$ に書き換えます。

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - (\frac{1}{5} \ln (4))}$

ステップ 10.11

対数の中の $\frac{1}{5}$ を移動させて $\frac{1}{5} \ln (4)$ を簡約します。

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

ステップ 10.12

$- - \ln (4^{\frac{1}{5}})$ を掛けます。

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ステップ 10.12.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

ステップ 10.12.2

$\ln (4^{\frac{1}{5}})$ に $1$ をかけます。

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

ステップ 10.13

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

ステップ 11

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ は極小値です

ステップ 12

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

Simplify $- \frac{\ln (4)}{5}$ to substitute in $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ .

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ステップ 12.1.1

$\frac{\ln (4)}{5}$ を $\frac{1}{5} \ln (4)$ に書き換えます。

$y = - (\frac{1}{5} \cdot \ln (4))$

ステップ 12.1.2

対数の中の $\frac{1}{5}$ を移動させて $\frac{1}{5} \ln (4)$ を簡約します。

$y = - \ln (4^{\frac{1}{5}})$

ステップ 12.2

式の変数 $x$ を $- \ln (4^{\frac{1}{5}})$ で置換えます。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

ステップ 12.3

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.1

$4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

ステップ 12.3.1.1.2

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ を簡約します。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

ステップ 12.3.1.2

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ を簡約します。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

ステップ 12.3.1.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

ステップ 12.3.1.4

${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

ステップ 12.3.1.4.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

ステップ 12.3.1.5

${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

ステップ 12.3.1.5.2

$\frac{1}{5}$ と $- 4$ をまとめます。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

ステップ 12.3.1.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

ステップ 12.3.1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

ステップ 12.3.1.7

$- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

ステップ 12.3.1.7.2

$\ln (4^{\frac{1}{5}})$ に $1$ をかけます。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

ステップ 12.3.1.8

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

ステップ 12.3.2

最終的な答えは $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$ です。

$y = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

ステップ 13

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ の極値です。

$(- \frac{\ln (4)}{5}, \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}})$ は極小値です

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例