微分積分例

$\int \frac{\sin (2 x)}{3 + \cos (2 x)} d x$

ステップ 1

$u_{2} = 3 + \cos (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ すると、 $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = 3 + \cos (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 + \cos (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 + \cos (2 x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $3 + \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 1.1.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$0 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$0 - \sin (2 x) \cdot 2$

ステップ 1.1.3.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 2 \sin (2 x)$

ステップ 1.1.4

$0$ から $2 \sin (2 x)$ を引きます。

$- 2 \sin (2 x)$

ステップ 1.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

ステップ 2.2

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

ステップ 2.3

$2$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$\int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 5

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 6

簡約します。

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 7

$u_{2}$ のすべての発生を $3 + \cos (2 x)$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 + \cos (2 x) |) + C$

微分積分 例

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