微分積分例

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{9 + 4 \sec^{2} (x)} d x$

ステップ 1

$u = \sec (x)$ とします。次に $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ すると、 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \sec (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sec (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{9 + 4 u^{2}} d u$

ステップ 2

$4$ を $9 + 4 u^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$4$ を $9$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 u^{2}} d u$

ステップ 2.2

$4$ を $4 u^{2}$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})} d u$

ステップ 2.3

$4$ を $4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + u^{2})} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{9}{4} + u^{2}} d u$

ステップ 4

$\frac{9}{4}$ を ${(\frac{3}{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}} d u$

ステップ 5

$\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C$ です。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

簡約します。

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ステップ 6.1.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{3}{2}$ で割ります。

$\frac{1}{4} (1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

ステップ 6.1.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

ステップ 6.1.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{3}{2}$ で割ります。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (u \frac{2}{3}) + C)$

ステップ 6.1.4

$u$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u \cdot 2}{3}) + C)$

ステップ 6.1.5

$2$ を $u$ の左に移動させます。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot u}{3}) + C)$

ステップ 6.1.6

$\frac{2}{3}$ と $\arctan (\frac{2 u}{3})$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$

ステップ 6.2

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$ を $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

ステップ 6.3

簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{2}{4 \cdot 3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

ステップ 6.3.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

ステップ 6.3.3

$2$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (1)}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

ステップ 6.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.3.2.1

$2$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

ステップ 6.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

ステップ 6.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $\sec (x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} \sec (x)) + C$

微分積分 例

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