微分積分例

$\int e^{x} \cos (2 x) d x$

ステップ 1

$e^{x}$ と $\cos (2 x)$ を並べ替えます。

$\int \cos (2 x) e^{x} d x$

ステップ 2

$u = \cos (2 x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (2 x) e^{x} - \int e^{x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

ステップ 3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\cos (2 x) e^{x} - (- 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x)$

ステップ 4

式を簡約します。

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ステップ 4.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x$

ステップ 4.2

$e^{x}$ と $\sin (2 x)$ を並べ替えます。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 \int \sin (2 x) e^{x} d x$

ステップ 5

$u = \sin (2 x)$ と $d v = e^{x}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - \int e^{x} (2 \cos (2 x)) d x)$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - (2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x))$

ステップ 7

両辺を掛けて簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - 2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x)$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x}) + 2 (- 2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x)$

ステップ 7.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x}) - 4 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x$

ステップ 8

$\int e^{x} \cos (2 x) d x$ を解くと、 $\int e^{x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x})}{5}$ であることが分かります。

$\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x})}{5} + C$

ステップ 9

$\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}}{5} + C$ を $\frac{1}{5} (\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}) + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{5} (\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}) + C$

微分積分 例