微分積分例

$\int \frac{1}{t} \cdot (\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}) d t$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{t}$ に $\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}$ をかけます。

$\int \frac{\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

ステップ 1.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\frac{2}{t^{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{t}{t}$ を掛けます。

$\int \frac{\frac{2}{t^{2}} \cdot \frac{t}{t} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

ステップ 1.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $t^{3}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.2.2.1

$\frac{2}{t^{2}}$ に $\frac{t}{t}$ をかけます。

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2} t} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

ステップ 1.2.2.2

指数を足して $t^{2}$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.2.1

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2} t^{1}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

ステップ 1.2.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2 + 1}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

ステップ 1.2.2.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{3}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

ステップ 1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{\frac{2 t - 3}{t^{3}}}{t} d t$

ステップ 1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3}} \cdot \frac{1}{t} d t$

ステップ 1.4

$\frac{2 t - 3}{t^{3}} \cdot \frac{1}{t}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1

$\frac{2 t - 3}{t^{3}}$ に $\frac{1}{t}$ をかけます。

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3} t} d t$

ステップ 1.4.2

指数を足して $t^{3}$ に $t$ を掛けます。

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ステップ 1.4.2.1

$t^{3}$ に $t$ をかけます。

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ステップ 1.4.2.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3} t^{1}} d t$

ステップ 1.4.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3 + 1}} d t$

ステップ 1.4.2.2

$3$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{2 t - 3}{t^{4}} d t$

ステップ 2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1

$t^{4}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (2 t - 3) {(t^{4})}^{- 1} d t$

ステップ 2.2

${(t^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (2 t - 3) t^{4 \cdot - 1} d t$

ステップ 2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\int (2 t - 3) t^{- 4} d t$

ステップ 3

$(2 t - 3) t^{- 4}$ を掛けます。

$\int 2 t \cdot t^{- 4} - 3 t^{- 4} d t$

ステップ 4

指数を足して $t$ に $t^{- 4}$ を掛けます。

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ステップ 4.1

$t^{- 4}$ を移動させます。

$\int 2 (t^{- 4} t) - 3 t^{- 4} d t$

ステップ 4.2

$t^{- 4}$ に $t$ をかけます。

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ステップ 4.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\int 2 (t^{- 4} t^{1}) - 3 t^{- 4} d t$

ステップ 4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 t^{- 4 + 1} - 3 t^{- 4} d t$

ステップ 4.3

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$\int 2 t^{- 3} - 3 t^{- 4} d t$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 t^{- 3} d t + \int - 3 t^{- 4} d t$

ステップ 6

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int t^{- 3} d t + \int - 3 t^{- 4} d t$

ステップ 7

べき乗則では、 $t^{- 3}$ の $t$ に関する積分は $- \frac{1}{2} t^{- 2}$ です。

$2 (- \frac{1}{2} t^{- 2} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$t^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (- \frac{t^{- 2}}{2} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

ステップ 8.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- 2}$ を分母に移動させます。

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

ステップ 9

$- 3$ は $t$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 \int t^{- 4} d t$

ステップ 10

べき乗則では、 $t^{- 4}$ の $t$ に関する積分は $- \frac{1}{3} t^{- 3}$ です。

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3} t^{- 3} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

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ステップ 11.1.1

$t^{- 3}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{t^{- 3}}{3} + C)$

ステップ 11.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $t^{- 3}$ を分母に移動させます。

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}} + C)$

ステップ 11.2

簡約します。

$\frac{- 1}{t^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}}) + C$

ステップ 11.3

簡約します。

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ステップ 11.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{t^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}}) + C$

ステップ 11.3.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$- \frac{1}{t^{2}} + 3 \frac{1}{3 t^{3}} + C$

ステップ 11.3.3

$3$ と $\frac{1}{3 t^{3}}$ をまとめます。

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{3}{3 t^{3}} + C$

ステップ 11.3.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{3}{3 t^{3}} + C$

ステップ 11.3.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{1}{t^{3}} + C$

微分積分 例

微分積分例