微分積分例

$lim_{y \to - 3} \sqrt{\frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 1

根号の下に極限を移動させます。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\sqrt{\frac{lim_{y \to - 3} y^{2} - 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$y$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt{\frac{lim_{y \to - 3} y^{2} - lim_{y \to - 3} 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 2.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $y^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt{\frac{{(lim_{y \to - 3} y)}^{2} - lim_{y \to - 3} 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 2.1.2.1.3

$y$ が $- 3$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\sqrt{\frac{{(lim_{y \to - 3} y)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 2.1.2.2

$y$ を $- 3$ に代入し、 $y$ の極限値を求めます。

$\sqrt{\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{9 - 9}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 2.1.2.3.2

$9$ から $9$ を引きます。

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + 7 y + 3}}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$y$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt{\frac{0}{lim_{y \to - 3} 2 y^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

ステップ 2.1.3.2

$2$ の項は $y$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt{\frac{0}{2 lim_{y \to - 3} y^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

ステップ 2.1.3.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $y^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + lim_{y \to - 3} 7 y + lim_{y \to - 3} 3}}$

ステップ 2.1.3.4

$7$ の項は $y$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + lim_{y \to - 3} 3}}$

ステップ 2.1.3.5

$y$ が $- 3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\sqrt{\frac{0}{2 {(lim_{y \to - 3} y)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + 3}}$

ステップ 2.1.3.6

すべての $y$ に $- 3$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.6.1

$y$ を $- 3$ に代入し、 $y$ の極限値を求めます。

$\sqrt{\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 lim_{y \to - 3} y + 3}}$

ステップ 2.1.3.6.2

$y$ を $- 3$ に代入し、 $y$ の極限値を求めます。

$\sqrt{\frac{0}{2 {(- 3)}^{2} + 7 \cdot - 3 + 3}}$

ステップ 2.1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.7.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{0}{2 \cdot 9 + 7 \cdot - 3 + 3}}$

ステップ 2.1.3.7.1.2

$2$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{0}{18 + 7 \cdot - 3 + 3}}$

ステップ 2.1.3.7.1.3

$7$ に $- 3$ をかけます。

$\sqrt{\frac{0}{18 - 21 + 3}}$

ステップ 2.1.3.7.2

$18$ から $21$ を引きます。

$\sqrt{\frac{0}{- 3 + 3}}$

ステップ 2.1.3.7.3

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

ステップ 2.1.3.7.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

ステップ 2.1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\sqrt{\frac{0}{0}}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{y \to - 3} \frac{y^{2} - 9}{2 y^{2} + 7 y + 3} = lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2} - 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $y^{2} - 9$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]$ です。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

ステップ 2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y + \frac{d}{d y} [- 9]}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

ステップ 2.3.4

$- 9$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y + 0}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

ステップ 2.3.5

$2 y$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [2 y^{2} + 7 y + 3]}}$

ステップ 2.3.6

総和則では、 $2 y^{2} + 7 y + 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]$ です。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

ステップ 2.3.7

$\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $2 y^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ です。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

ステップ 2.3.7.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{2 \cdot 2 y + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

ステップ 2.3.7.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + \frac{d}{d y} [7 y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

ステップ 2.3.8

$\frac{d}{d y} [7 y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.8.1

$7$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $7 y$ の微分係数は $7 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]}}$

ステップ 2.3.8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]}}$

ステップ 2.3.8.3

$7$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 + \frac{d}{d y} [3]}}$

ステップ 2.3.9

$3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7 + 0}}$

ステップ 2.3.10

$4 y + 7$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{lim_{y \to - 3} \frac{2 y}{4 y + 7}}$

ステップ 3

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$2$ の項は $y$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt{2 lim_{y \to - 3} \frac{y}{4 y + 7}}$

ステップ 3.2

$y$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{lim_{y \to - 3} 4 y + 7}}$

ステップ 3.3

$y$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{lim_{y \to - 3} 4 y + lim_{y \to - 3} 7}}$

ステップ 3.4

$4$ の項は $y$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{4 lim_{y \to - 3} y + lim_{y \to - 3} 7}}$

ステップ 3.5

$y$ が $- 3$ に近づくと定数である $7$ の極限値を求めます。

$\sqrt{2 \frac{lim_{y \to - 3} y}{4 lim_{y \to - 3} y + 7}}$

ステップ 4

すべての $y$ に $- 3$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$y$ を $- 3$ に代入し、 $y$ の極限値を求めます。

$\sqrt{2 \frac{- 3}{4 lim_{y \to - 3} y + 7}}$

ステップ 4.2

$y$ を $- 3$ に代入し、 $y$ の極限値を求めます。

$\sqrt{2 \frac{- 3}{4 \cdot - 3 + 7}}$

ステップ 5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ と $\frac{- 3}{4 \cdot - 3 + 7}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{4 \cdot - 3 + 7}}$

ステップ 5.2

$4$ に $- 3$ をかけます。

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{- 12 + 7}}$

ステップ 5.3

$- 12$ と $7$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{2 \cdot - 3}{- 5}}$

ステップ 5.4

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\sqrt{\frac{- 6}{- 5}}$

ステップ 5.5

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sqrt{\frac{6}{5}}$

ステップ 5.6

$\sqrt{\frac{6}{5}}$ を $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$

ステップ 5.7

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 5.8

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 5.8.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 5.8.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 5.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 5.8.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.8.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.8.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.8.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.8.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 5.8.6.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{5}}{5}$

ステップ 5.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 5}}{5}$

ステップ 5.9.2

$6$ に $5$ をかけます。

$\frac{\sqrt{30}}{5}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\sqrt{30}}{5}$

10進法形式：

$1.09544511 \dots$

微分積分 例

微分積分例