微分積分例

$\int_{2 x}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$

ステップ 1

積分を2つの積分に分割し、 $c$ が $2 x$ と $3 x + 1$ の間の値になるようにます。

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

ステップ 2

総和則では、 $\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$ です。

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

ステップ 3

積分の境界を入れ替えます。

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

ステップ 4

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t$ の微分係数を取ります。

$\frac{d}{d x} [2 x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

ステップ 5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

ステップ 5.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

ステップ 6

微積分学の基本定理と連鎖律を利用して、 $x$ に関する $\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ の微分係数を取ります。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [3 x + 1] \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

ステップ 7

総和則では、 $3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

ステップ 8

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

ステップ 8.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

ステップ 8.3

$3$ に $1$ をかけます。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

ステップ 9

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + 0) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

ステップ 9.2

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

ステップ 9.2.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$2 (- \sin ({(2 (x))}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

ステップ 9.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$2 (- \sin (2^{4} x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

ステップ 9.2.3.2

$2$ を $4$ 乗します。

$2 (- \sin (16 x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

ステップ 9.2.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

微分積分 例

微分積分例