微分積分例

$\int 6 e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

ステップ 1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$6 \int e^{6 x} \sin (e^{6 x}) d x$

ステップ 2

$u_{1} = 6 x$ とします。次に $d u_{1} = 6 d x$ すると、 $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u_{1} = 6 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$6 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 2.1.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$6$ に $1$ をかけます。

$6$

ステップ 2.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$6 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{6}$ と $e^{u_{1}}$ をまとめます。

$6 \int \frac{e^{u_{1}}}{6} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 3.2

$\frac{e^{u_{1}}}{6}$ と $\sin (e^{u_{1}})$ をまとめます。

$6 \int \frac{e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}})}{6} d u_{1}$

ステップ 4

$\frac{1}{6}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{6}$ を積分の外に移動させます。

$6 (\frac{1}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{6}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 5.2

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{6}{6} \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$1 \int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 5.3

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$ に $1$ をかけます。

$\int e^{u_{1}} \sin (e^{u_{1}}) d u_{1}$

ステップ 6

$u_{2} = e^{u_{1}}$ とします。次に $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ すると、 $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 6.1

$u_{2} = e^{u_{1}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 6.1.1

$e^{u_{1}}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

ステップ 6.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}}$

ステップ 6.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 7

$\sin (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \cos (u_{2})$ です。

$- \cos (u_{2}) + C$

ステップ 8

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 8.1

$u_{2}$ のすべての発生を $e^{u_{1}}$ で置き換えます。

$- \cos (e^{u_{1}}) + C$

ステップ 8.2

$u_{1}$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$- \cos (e^{6 x}) + C$

微分積分 例

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