微分積分例

$\int x \sqrt[4]{5 x + 1} d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sqrt[4]{5 x + 1}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{4}{25}$ と ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ をまとめます。

$x \frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25}$ をまとめます。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

ステップ 3

$\frac{4}{25}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{4}{25}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - (\frac{4}{25} \int {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x)$

ステップ 4

$u = 5 x + 1$ とします。次に $d u = 5 d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u = 5 x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$5 x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $5 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 4.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$5 + 0$

ステップ 4.1.4.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$5$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int u^{\frac{5}{4}} \frac{1}{5} d u$

ステップ 5

$u^{\frac{5}{4}}$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{5} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} (\frac{1}{5} \int u^{\frac{5}{4}} d u)$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{5}$ に $\frac{4}{25}$ をかけます。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{5 \cdot 25} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

ステップ 7.2

$5$ に $25$ をかけます。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{\frac{5}{4}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$ です。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$ を $\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$ に書き換えます。

$\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$\frac{4}{25}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{4 x}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

ステップ 9.2.2

$\frac{4 x}{25}$ と ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ をまとめます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

ステップ 9.2.3

$\frac{4}{9}$ に $\frac{4}{125}$ をかけます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

ステップ 9.2.4

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

ステップ 9.2.5

$9$ に $125$ をかけます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} + C$

ステップ 9.2.6

$- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{25}{25}$ を掛けます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot \frac{25}{25} + C$

ステップ 9.2.7

$- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ と $\frac{25}{25}$ をまとめます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} + \frac{- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

ステップ 9.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

ステップ 9.2.9

$u^{\frac{9}{4}}$ と $\frac{16}{1125}$ をまとめます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125} \cdot 25}{25} + C$

ステップ 9.2.10

$25$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 25 \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}}{25} + C$

ステップ 9.2.11

$- 25$ と $\frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}$ をまとめます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 25 (u^{\frac{9}{4}} \cdot 16)}{1125}}{25} + C$

ステップ 9.2.12

$16$ に $- 25$ をかけます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 400 u^{\frac{9}{4}}}{1125}}{25} + C$

ステップ 9.2.13

$25$ を $- 400 u^{\frac{9}{4}}$ で因数分解します。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{1125}}{25} + C$

ステップ 9.2.14

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.14.1

$25$ を $1125$ で因数分解します。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 (45)}}{25} + C$

ステップ 9.2.14.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 \cdot 45}}{25} + C$

ステップ 9.2.14.3

式を書き換えます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

ステップ 9.2.15

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

ステップ 9.2.16

$4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{45}{45}$ を掛けます。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

ステップ 9.2.17

$4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ と $\frac{45}{45}$ をまとめます。

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

ステップ 9.2.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45 - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

ステップ 9.2.19

$45$ に $4$ をかけます。

$\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

ステップ 9.2.20

$\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25}$ を積として書き換えます。

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45} \cdot \frac{1}{25} + C$

ステップ 9.2.21

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}$ に $\frac{1}{25}$ をかけます。

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45 \cdot 25} + C$

ステップ 9.2.22

$45$ に $25$ をかけます。

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $5 x + 1$ で置き換えます。

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

ステップ 11

項を並べ替えます。

$\frac{1}{1125} (180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}) + C$

微分積分 例

微分積分例