微分積分例

$y = {(2 x + 1)}^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

${(2 x + 1)}^{2}$ を $(2 x + 1) (2 x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x + 1)]$

ステップ 3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 1) (2 x + 1)$ を展開します。

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ステップ 3.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)]$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)]$

ステップ 3.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

ステップ 3.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

ステップ 3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

ステップ 3.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

ステップ 3.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

ステップ 3.3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

ステップ 3.3.1.5

$2 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1]$

ステップ 3.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1]$

ステップ 3.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$

ステップ 3.4

総和則では、 $4 x^{2} + 4 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.7

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.8

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.10

$4$ に $1$ をかけます。

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.11

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$8 x + 4 + 0$

ステップ 3.12

$8 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$8 x + 4$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 8 x + 4$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 4$

微分積分 例

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