微分積分例

$\int_{1}^{7} x \sqrt{6 x^{2} + 3} d x$

ステップ 1

$u = 6 x^{2} + 3$ とします。次に $d u = 12 x d x$ すると、 $\frac{1}{12} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 6 x^{2} + 3$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$6 x^{2} + 3$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 3]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $6 x^{2} + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $6$ をかけます。

$12 x + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$12 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$12 x$ と $0$ をたし算します。

$12 x$

ステップ 1.2

$u = 6 x^{2} + 3$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 6 \cdot 1^{2} + 3$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{lower} = 6 \cdot 1 + 3$

ステップ 1.3.1.2

$6$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 6 + 3$

ステップ 1.3.2

$6$ と $3$ をたし算します。

$u_{lower} = 9$

ステップ 1.4

$u = 6 x^{2} + 3$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 6 \cdot 7^{2} + 3$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$u_{upper} = 6 \cdot 49 + 3$

ステップ 1.5.1.2

$6$ に $49$ をかけます。

$u_{upper} = 294 + 3$

ステップ 1.5.2

$294$ と $3$ をたし算します。

$u_{upper} = 297$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 297$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{9}^{297} \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

ステップ 2

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$\int_{9}^{297} \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{12}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{12}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{12} \int_{9}^{297} \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{12} \int_{9}^{297} u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{12} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{297}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$297$ および $9$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{12} ((\frac{2}{3} \cdot 297^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\frac{2}{3}$ と $297^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}})$

ステップ 6.2.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 6.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})})$

ステップ 6.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3})$

ステップ 6.2.5

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27)$

ステップ 6.2.6

$27$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - 27 (\frac{2}{3}))$

ステップ 6.2.7

$- 27$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3})$

ステップ 6.2.8

$- 27$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 54}{3})$

ステップ 6.2.9

$- 54$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.9.1

$3$ を $- 54$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3})$

ステップ 6.2.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.9.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)})$

ステップ 6.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1})$

ステップ 6.2.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 18}{1})$

ステップ 6.2.9.2.4

$- 18$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{12} (\frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} - 18)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2 \cdot 297^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{12} \cdot - 18$

ステップ 7.2

まとめる。

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{12} \cdot - 18$

ステップ 7.3

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 (2)} \cdot - 18$

ステップ 7.3.2

$6$ を $- 18$ で因数分解します。

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 3)$

ステップ 7.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 3)$

ステップ 7.3.4

式を書き換えます。

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

ステップ 7.4

$\frac{1}{2}$ と $- 3$ をまとめます。

$\frac{1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})}{12 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

ステップ 7.5

各項を簡約します。

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ステップ 7.5.1

$2$ を $1 (2 \cdot 297^{\frac{3}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{12 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

ステップ 7.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.2.1

$2$ を $12 \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 3}{2}$

ステップ 7.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 \cdot (297^{\frac{3}{2}}))}{2 (6 \cdot 3)} + \frac{- 3}{2}$

ステップ 7.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1 \cdot (297^{\frac{3}{2}})}{6 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

ステップ 7.5.3

$297^{\frac{3}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{6 \cdot 3} + \frac{- 3}{2}$

ステップ 7.5.4

$6$ に $3$ をかけます。

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} + \frac{- 3}{2}$

ステップ 7.5.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{3}{2}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{297^{\frac{3}{2}}}{18} - \frac{3}{2}$

10進法形式：

$282.85585100 \dots$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例