微分積分例

$\int_{1}^{e} x^{2} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{e} x^{2} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

代入し簡約します。

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ステップ 5.1.1

$e$ および $1$ で $\frac{1}{3} x^{3}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

ステップ 5.1.2

$e$ および $1$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 5.1.3

簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

$\frac{1}{3}$ と $e^{3}$ をまとめます。

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 5.1.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 5.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

ステップ 5.1.3.4

$- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{e^{3}}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 5.1.3.5

$- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 5.1.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 5.1.3.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{e^{3} - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{3} - \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{3}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$e$ は約 $2.71828182$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{3}$

ステップ 5.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{3}$

ステップ 5.3.3

$e$ を $1$ で割ります。

$\frac{e^{3} - 3 \ln (e) - 1}{3}$

ステップ 5.3.4

$e$ の自然対数は $1$ です。

$\frac{e^{3} - 3 \cdot 1 - 1}{3}$

ステップ 5.3.5

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{3} - 3 - 1}{3}$

ステップ 5.3.6

$- 3$ から $1$ を引きます。

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

10進法形式：

$5.36184564 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例