微分積分例

$\int_{1}^{4} 5 y \sqrt{y} + 3 \sqrt{y} d y$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} 5 y \cdot y^{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

ステップ 1.2

指数を足して $y$ に $y^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$y^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y) + 3 \sqrt{y} d y$

ステップ 1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ に $y$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + 3 \sqrt{y} d y$

ステップ 1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + 1} + 3 \sqrt{y} d y$

ステップ 1.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

ステップ 1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

ステップ 1.2.5

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

ステップ 3

$5$ は $y$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int_{1}^{4} y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

ステップ 4

べき乗則では、 $y^{\frac{3}{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ です。

$5 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

ステップ 5

$\frac{2}{5}$ と $y^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

ステップ 6

$3$ は $y$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} \sqrt{y} d y$

ステップ 7

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{y}$ を $y^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y$

ステップ 8

べき乗則では、 $y^{\frac{1}{2}}$ の $y$ に関する積分は $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ です。

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{2}{3}$ と $y^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

ステップ 9.2

代入し簡約します。

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ステップ 9.2.1

$4$ および $1$ で $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ の値を求めます。

$5 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

ステップ 9.2.2

$4$ および $1$ で $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ の値を求めます。

$5 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$5 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.3.1

共通因数を約分します。

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.3.2

式を書き換えます。

$5 (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.4

$2$ を $5$ 乗します。

$5 (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.5

$2$ に $32$ をかけます。

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.6

1のすべての数の累乗は1です。

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.8

公分母の分子をまとめます。

$5 \frac{64 - 2}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.9

$64$ から $2$ を引きます。

$5 (\frac{62}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.10

$5$ と $\frac{62}{5}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.11

$5$ に $62$ をかけます。

$\frac{310}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.12

$310$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.3.12.1

$5$ を $310$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.12.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.12.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 62}{5 (1)} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot 62}{5 \cdot 1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{62}{1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.12.2.4

$62$ を $1$ で割ります。

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.13

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$62 + 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.14

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.15

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.15.1

共通因数を約分します。

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.15.2

式を書き換えます。

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.16

$2$ を $3$ 乗します。

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.17

$2$ に $8$ をかけます。

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

ステップ 9.2.3.18

1のすべての数の累乗は1です。

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

ステップ 9.2.3.19

$2$ に $1$ をかけます。

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

ステップ 9.2.3.20

公分母の分子をまとめます。

$62 + 3 \frac{16 - 2}{3}$

ステップ 9.2.3.21

$16$ から $2$ を引きます。

$62 + 3 (\frac{14}{3})$

ステップ 9.2.3.22

$3$ と $\frac{14}{3}$ をまとめます。

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

ステップ 9.2.3.23

$3$ に $14$ をかけます。

$62 + \frac{42}{3}$

ステップ 9.2.3.24

$42$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.3.24.1

$3$ を $42$ で因数分解します。

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

ステップ 9.2.3.24.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.24.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

ステップ 9.2.3.24.2.2

共通因数を約分します。

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

ステップ 9.2.3.24.2.3

式を書き換えます。

$62 + \frac{14}{1}$

ステップ 9.2.3.24.2.4

$14$ を $1$ で割ります。

$62 + 14$

ステップ 9.2.3.25

$62$ と $14$ をたし算します。

$76$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例