微分積分例

$\int_{1}^{4} (1 - u) \sqrt{u} d u$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} (1 - u) u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 2

$(1 - u) u^{\frac{1}{2}}$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{4} 1 u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.3

負をくくり出します。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) d u$

ステップ 2.4

$u$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) d u$

ステップ 2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{1 + \frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d u$

ステップ 2.7

公分母の分子をまとめます。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2 + 1}{2}} d u$

ステップ 2.8

$2$ と $1$ をたし算します。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{\frac{3}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4})$

ステップ 7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{2}{5}$ と $u^{\frac{5}{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

ステップ 7.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$4$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

ステップ 7.2.2

$4$ および $1$ で $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ の値を求めます。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.4

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.5

$\frac{2}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.6

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.7

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{16 - 2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.10

$16$ から $2$ を引きます。

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.11

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.12

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.13

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.13.1

共通因数を約分します。

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.13.2

式を書き換えます。

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.14

$2$ を $5$ 乗します。

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.15

$2$ に $32$ をかけます。

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

ステップ 7.2.3.16

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5})$

ステップ 7.2.3.17

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

ステップ 7.2.3.18

公分母の分子をまとめます。

$\frac{14}{3} - \frac{64 - 2}{5}$

ステップ 7.2.3.19

$64$ から $2$ を引きます。

$\frac{14}{3} - \frac{62}{5}$

ステップ 7.2.3.20

$\frac{14}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5}$

ステップ 7.2.3.21

$- \frac{62}{5}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 7.2.3.22

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $15$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.2.3.22.1

$\frac{14}{3}$ に $\frac{5}{5}$ をかけます。

$\frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 7.2.3.22.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 7.2.3.22.3

$\frac{62}{5}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

ステップ 7.2.3.22.4

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{15}$

ステップ 7.2.3.23

公分母の分子をまとめます。

$\frac{14 \cdot 5 - 62 \cdot 3}{15}$

ステップ 7.2.3.24

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.24.1

$14$ に $5$ をかけます。

$\frac{70 - 62 \cdot 3}{15}$

ステップ 7.2.3.24.2

$- 62$ に $3$ をかけます。

$\frac{70 - 186}{15}$

ステップ 7.2.3.24.3

$70$ から $186$ を引きます。

$\frac{- 116}{15}$

ステップ 7.2.3.25

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{116}{15}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{116}{15}$

10進法形式：

$- 7.7\overline{3}$

帯分数形：

$- 7 \frac{11}{15}$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例