微分積分例

$\int_{1}^{4} \frac{t^{8} - t^{4}}{t^{6}} d t$

ステップ 1

式を簡約します。

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ステップ 1.1

簡約します。

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ステップ 1.1.1

$t^{4}$ を $t^{8} - t^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$t^{4}$ を $t^{8}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} t^{4} - t^{4}}{t^{6}} d t$

ステップ 1.1.1.2

$t^{4}$ を $- t^{4}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1}{t^{6}} d t$

ステップ 1.1.1.3

$t^{4}$ を $t^{4} t^{4} + t^{4} \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{6}} d t$

ステップ 1.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.1

$t^{4}$ を $t^{6}$ で因数分解します。

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

ステップ 1.1.2.2

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} (t^{4} - 1)}{t^{4} t^{2}} d t$

ステップ 1.1.2.3

式を書き換えます。

$\int_{1}^{4} \frac{t^{4} - 1}{t^{2}} d t$

ステップ 1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.1

$t^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) {(t^{2})}^{- 1} d t$

ステップ 1.2.2

${(t^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) t^{2 \cdot - 1} d t$

ステップ 1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int_{1}^{4} (t^{4} - 1) t^{- 2} d t$

ステップ 2

$(t^{4} - 1) t^{- 2}$ を掛けます。

$\int_{1}^{4} t^{4} t^{- 2} - 1 t^{- 2} d t$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

指数を足して $t^{4}$ に $t^{- 2}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{4} t^{4 - 2} - 1 t^{- 2} d t$

ステップ 3.1.2

$4$ から $2$ を引きます。

$\int_{1}^{4} t^{2} - 1 t^{- 2} d t$

ステップ 3.2

$- 1 t^{- 2}$ を $- t^{- 2}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} t^{2} - t^{- 2} d t$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{4} t^{2} d t + \int_{1}^{4} - t^{- 2} d t$

ステップ 5

べき乗則では、 $t^{2}$ の $t$ に関する積分は $\frac{1}{3} t^{3}$ です。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - t^{- 2} d t$

ステップ 6

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} t^{- 2} d t$

ステップ 7

べき乗則では、 $t^{- 2}$ の $t$ に関する積分は $- t^{- 1}$ です。

$\frac{1}{3} t^{3}]_{1}^{4} - (- t^{- 1}]_{1}^{4})$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$4$ および $1$ で $\frac{1}{3} t^{3}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- t^{- 1}]_{1}^{4})$

ステップ 8.2

$4$ および $1$ で $- t^{- 1}$ の値を求めます。

$\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3

簡約します。

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ステップ 8.3.1

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.2

$\frac{1}{3}$ と $64$ をまとめます。

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{64}{3} - \frac{1}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{64 - 1}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.6

$64$ から $1$ を引きます。

$\frac{63}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.7

$63$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.7.1

$3$ を $63$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 21}{3} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{21}{1} - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.7.2.4

$21$ を $1$ で割ります。

$21 - (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$21 - (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

ステップ 8.3.9

1のすべての数の累乗は1です。

$21 - (- \frac{1}{4} + 1)$

ステップ 8.3.10

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$21 - (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

ステップ 8.3.11

公分母の分子をまとめます。

$21 - \frac{- 1 + 4}{4}$

ステップ 8.3.12

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$21 - \frac{3}{4}$

ステップ 8.3.13

$21$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$21 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

ステップ 8.3.14

$21$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{21 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4}$

ステップ 8.3.15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{21 \cdot 4 - 3}{4}$

ステップ 8.3.16

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.16.1

$21$ に $4$ をかけます。

$\frac{84 - 3}{4}$

ステップ 8.3.16.2

$84$ から $3$ を引きます。

$\frac{81}{4}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{81}{4}$

10進法形式：

$20.25$

帯分数形：

$20 \frac{1}{4}$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例