微分積分例

$\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{2}{x}} d x$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{2}{x}}$ を $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$ に書き換えます。

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 2

$\sqrt{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $\sqrt{2}$ を積分の外に移動させます。

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 3

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 3.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 3.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\sqrt{2} \int_{1}^{4} x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$\sqrt{2} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$4$ および $1$ で $2 x^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$\sqrt{2} ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2} (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.3.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2} (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.4

指数を求めます。

$\sqrt{2} (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.5

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.2.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{2} (4 - 2 \cdot 1)$

ステップ 5.2.7

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{2} (4 - 2)$

ステップ 5.2.8

$4$ から $2$ を引きます。

$\sqrt{2} \cdot 2$

ステップ 5.2.9

$2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$2 \sqrt{2}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 \sqrt{2}$

10進法形式：

$2.82842712 \dots$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例