微分積分例

$\int_{1}^{2} {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

ステップ 1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ を $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ に書き換えます。

$\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{2} x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 1.3.1.1.2

式を書き換えます。

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 1.3.1.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 1.3.1.2.2

式を書き換えます。

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

ステップ 1.3.1.3

$\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.3.1

$\frac{1}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

ステップ 1.3.1.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

ステップ 1.3.1.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

ステップ 1.3.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

ステップ 1.3.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 1.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{2} x^{1} x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int_{1}^{2} x^{1 + 1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int_{1}^{2} x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 6

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 6.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 6.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 6.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

簡約します。

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ステップ 8.1.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}$ と $2 x]_{1}^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

ステップ 8.1.2

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2}$ と $- x^{- 1}]_{1}^{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}]_{1}^{2}$

ステップ 8.2

代入し簡約します。

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ステップ 8.2.1

$2$ および $1$ で $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}$ の値を求めます。

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2

簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$\frac{8}{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{8}{3} + 4 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.4

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.5

$4$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 + 4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.2.7.1

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{8 + 12}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.7.2

$8$ と $12$ をたし算します。

$\frac{20}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{20}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.9

$\frac{20}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.10

$- \frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.11

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.11.1

$\frac{20}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{20 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.11.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.11.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.11.4

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{20 \cdot 2 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.13

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.13.1

$20$ に $2$ をかけます。

$\frac{40 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.13.2

$40$ から $3$ を引きます。

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.14

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.15

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.16

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.17

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.18

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.20

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.20.1

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 6}{3} - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.20.2

$1$ と $6$ をたし算します。

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1^{- 1})$

ステップ 8.2.2.21

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot 1)$

ステップ 8.2.2.22

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1)$

ステップ 8.2.2.23

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 8.2.2.24

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

ステップ 8.2.2.25

公分母の分子をまとめます。

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 1 \cdot 3}{3}$

ステップ 8.2.2.26

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.26.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 3}{3}$

ステップ 8.2.2.26.2

$7$ から $3$ を引きます。

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3}$

ステップ 8.2.2.27

$- \frac{4}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 8.2.2.28

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.28.1

$\frac{4}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

ステップ 8.2.2.28.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{6}$

ステップ 8.2.2.29

公分母の分子をまとめます。

$\frac{37 - 4 \cdot 2}{6}$

ステップ 8.2.2.30

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.30.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{37 - 8}{6}$

ステップ 8.2.2.30.2

$37$ から $8$ を引きます。

$\frac{29}{6}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{29}{6}$

10進法形式：

$4.8\overline{3}$

帯分数形：

$4 \frac{5}{6}$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例