微分積分例

$\int_{1}^{3} 5 n^{- 2} - n^{- 3} d n$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{3} 5 n^{- 2} d n + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

ステップ 2

$5$ は $n$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$5 \int_{1}^{3} n^{- 2} d n + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

ステップ 3

べき乗則では、 $n^{- 2}$ の $n$ に関する積分は $- n^{- 1}$ です。

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} - n^{- 3} d n$

ステップ 4

$- 1$ は $n$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - \int_{1}^{3} n^{- 3} d n$

ステップ 5

べき乗則では、 $n^{- 3}$ の $n$ に関する積分は $- \frac{1}{2} n^{- 2}$ です。

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{1}{2} n^{- 2}]_{1}^{3})$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

簡約します。

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ステップ 6.1.1

$n^{- 2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{n^{- 2}}{2}]_{1}^{3})$

ステップ 6.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $n^{- 2}$ を分母に移動させます。

$5 (- n^{- 1}]_{1}^{3}) - (- \frac{1}{2 n^{2}}]_{1}^{3})$

ステップ 6.2

代入し簡約します。

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ステップ 6.2.1

$3$ および $1$ で $- n^{- 1}$ の値を求めます。

$5 ((- 3^{- 1}) + 1^{- 1}) - (- \frac{1}{2 n^{2}}]_{1}^{3})$

ステップ 6.2.2

$3$ および $1$ で $- \frac{1}{2 n^{2}}$ の値を求めます。

$5 ((- 3^{- 1}) + 1^{- 1}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 6.2.3

簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$5 (- \frac{1}{3} + 1^{- 1}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 6.2.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$5 (- \frac{1}{3} + 1) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 6.2.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$5 (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 6.2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$5 \frac{- 1 + 3}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 6.2.3.5

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$5 (\frac{2}{3}) - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 6.2.3.6

$5$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{5 \cdot 2}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 6.2.3.7

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10}{3} - ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 6.2.3.8

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 6.2.3.9

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

ステップ 6.2.3.10

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

ステップ 6.2.3.11

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

ステップ 6.2.3.12

$\frac{1}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

ステップ 6.2.3.13

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $18$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.2.3.13.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

ステップ 6.2.3.13.2

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{10}{3} - (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

ステップ 6.2.3.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{10}{3} - \frac{- 1 + 9}{18}$

ステップ 6.2.3.15

$- 1$ と $9$ をたし算します。

$\frac{10}{3} - \frac{8}{18}$

ステップ 6.2.3.16

$8$ と $18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.16.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{10}{3} - \frac{2 (4)}{18}$

ステップ 6.2.3.16.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.16.2.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.16.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

ステップ 6.2.3.16.2.3

式を書き換えます。

$\frac{10}{3} - \frac{4}{9}$

ステップ 6.2.3.17

$\frac{10}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{9}$

ステップ 6.2.3.18

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.2.3.18.1

$\frac{10}{3}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$\frac{10 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{4}{9}$

ステップ 6.2.3.18.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{10 \cdot 3}{9} - \frac{4}{9}$

ステップ 6.2.3.19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{10 \cdot 3 - 4}{9}$

ステップ 6.2.3.20

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.3.20.1

$10$ に $3$ をかけます。

$\frac{30 - 4}{9}$

ステップ 6.2.3.20.2

$30$ から $4$ を引きます。

$\frac{26}{9}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{26}{9}$

10進法形式：

$2.\overline{8}$

帯分数形：

$2 \frac{8}{9}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例