微分積分例

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 3

$u = - 4 x$ とします。次に $d u = - 4 d x$ すると、 $- \frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = - 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$- 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 3.1.2

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 \cdot 1$

ステップ 3.1.4

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 4$

ステップ 3.2

$u = - 4 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 4 \cdot 1$

ステップ 3.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = - 4$

ステップ 3.4

$u = - 4 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 4 \cdot 2$

ステップ 3.5

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u_{upper} = - 8$

ステップ 3.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = - 8$

ステップ 3.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 4.2

$e^{u}$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$2 \int_{- 4}^{- 8} - \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- 2 (\frac{1}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{4}$ と $- 2$ をまとめます。

$\frac{- 2}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 8.2

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1)}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 8.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 8.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 8.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 9

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

ステップ 11

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 11.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 11.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 11.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 11.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

ステップ 12

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 13

代入し簡約します。

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ステップ 13.1

$- 8$ および $- 4$ で $e^{u}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 13.2

$2$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 13.3

簡約します。

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ステップ 13.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

ステップ 13.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1)$

ステップ 13.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

ステップ 13.3.4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{- 1 + 2}{2}$

ステップ 13.3.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{1}{2}$

ステップ 13.3.6

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 13.3.7

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 13.3.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2 - 1}{2}$

ステップ 13.3.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 (\frac{1}{2}) (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

ステップ 13.3.10

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{- 2}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

ステップ 13.3.11

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.11.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

ステップ 13.3.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 13.3.11.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

ステップ 13.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

ステップ 13.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{- 1}{1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

ステップ 13.3.11.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)}{2}$

ステップ 14.2

$- 1$ を $- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

ステップ 14.3

$- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ を $- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

ステップ 14.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

ステップ 15

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

10進法形式：

$- 0.49100991 \dots$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例