微分積分例

$\int \sin^{5} (4 x) d x$

ステップ 1

$u_{1} = 4 x$ とします。次に $d u_{1} = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 4 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 1.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

ステップ 2

$\sin^{5} (u_{1})$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\int \frac{\sin^{5} (u_{1})}{4} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 4

$\sin^{4} (u_{1})$ を因数分解します。

$\frac{1}{4} \int \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5

くくりだして簡約します。

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ステップ 5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{4} \int {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 5.2

${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ を累乗法として書き換えます。

$\frac{1}{4} \int {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 6

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\sin^{2} (u_{1})$ を $1 - \cos^{2} (u_{1})$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} \int {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

ステップ 7

$u_{2} = \cos (u_{1})$ とします。次に $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ すると、 $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 7.1

$u_{2} = \cos (u_{1})$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 7.1.1

$\cos (u_{1})$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

ステップ 7.1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- \sin (u_{1})$

ステップ 7.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{4} \int - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

ステップ 8

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (- \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

ステップ 9

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ を展開します。

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ステップ 9.1

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ を $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ に書き換えます。

$\frac{1}{4} (- \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

ステップ 9.2

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (- \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

ステップ 9.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

ステップ 9.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

ステップ 9.5

${u_{2}}^{2}$ を移動させます。

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

ステップ 9.6

${u_{2}}^{2}$ を移動させます。

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.7

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (- \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.10

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.11

${u_{2}}^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

ステップ 9.13

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

ステップ 9.14

$- {u_{2}}^{2}$ から ${u_{2}}^{2}$ を引きます。

$\frac{1}{4} (- \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

ステップ 9.15

$- 2 {u_{2}}^{2}$ と ${u_{2}}^{4}$ を並べ替えます。

$\frac{1}{4} (- \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 9.16

$1$ を移動させます。

$\frac{1}{4} (- \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{4} (- (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

ステップ 11

べき乗則では、 ${u_{2}}^{4}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ です。

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

ステップ 12

$- 2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

ステップ 13

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2}))$

ステップ 14

定数の法則を当てはめます。

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C))$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

簡約します。

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ステップ 15.1.1

$\frac{1}{3}$ と ${u_{2}}^{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

ステップ 15.1.2

$\frac{1}{5}$ と ${u_{2}}^{5}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

ステップ 15.2

簡約します。

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2})) + C$

ステップ 16

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 16.1

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (u_{1})$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \cos^{3} (u_{1})}{3} + \cos (u_{1}))) + C$

ステップ 16.2

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (4 x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (4 x)}{3} + \cos (4 x))) + C$

ステップ 17

項を並べ替えます。

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} \cos^{5} (4 x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (4 x) + \cos (4 x))) + C$

微分積分 例

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