微分積分例

$\int_{1}^{- 1} {(12 x + 11)}^{2} d x$

ステップ 1

$u = 12 x + 11$ とします。次に $d u = 12 d x$ すると、 $\frac{1}{12} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 12 x + 11$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$12 x + 11$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [12 x + 11]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $12 x + 11$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.1.3.3

$12$ に $1$ をかけます。

$12 + \frac{d}{d x} [11]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$11$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $11$ の微分係数は $0$ です。

$12 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$12$ と $0$ をたし算します。

$12$

ステップ 1.2

$u = 12 x + 11$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 12 \cdot 1 + 11$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$12$ に $1$ をかけます。

$u_{lower} = 12 + 11$

ステップ 1.3.2

$12$ と $11$ をたし算します。

$u_{lower} = 23$

ステップ 1.4

$u = 12 x + 11$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 12 \cdot - 1 + 11$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$12$ に $- 1$ をかけます。

$u_{upper} = - 12 + 11$

ステップ 1.5.2

$- 12$ と $11$ をたし算します。

$u_{upper} = - 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 23$

$u_{upper} = - 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{23}^{- 1} u^{2} \frac{1}{12} d u$

ステップ 2

$u^{2}$ と $\frac{1}{12}$ をまとめます。

$\int_{23}^{- 1} \frac{u^{2}}{12} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{12}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{12}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{12} \int_{23}^{- 1} u^{2} d u$

ステップ 4

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{1}{12} \frac{1}{3} u^{3}]_{23}^{- 1}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ および $23$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{12} (\frac{1}{3} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{12} (\frac{- 1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

ステップ 5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

ステップ 5.2.4

$23$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 12167)$

ステップ 5.2.5

$12167$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - 12167 (\frac{1}{3}))$

ステップ 5.2.6

$- 12167$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} + \frac{- 12167}{3})$

ステップ 5.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{12167}{3})$

ステップ 5.2.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 - 12167}{3}$

ステップ 5.2.9

$- 1$ から $12167$ を引きます。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 12168}{3}$

ステップ 5.2.10

$- 12168$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.10.1

$3$ を $- 12168$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3}$

ステップ 5.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.10.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 (1)}$

ステップ 5.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 \cdot 1}$

ステップ 5.2.10.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 4056}{1}$

ステップ 5.2.10.2.4

$- 4056$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{12} \cdot - 4056$

ステップ 5.2.11

$\frac{1}{12}$ と $- 4056$ をまとめます。

$\frac{- 4056}{12}$

ステップ 5.2.12

$- 4056$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.12.1

$12$ を $- 4056$ で因数分解します。

$\frac{12 \cdot - 338}{12}$

ステップ 5.2.12.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.12.2.1

$12$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{12 \cdot - 338}{12 (1)}$

ステップ 5.2.12.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{12 \cdot - 338}{12 \cdot 1}$

ステップ 5.2.12.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 338}{1}$

ステップ 5.2.12.2.4

$- 338$ を $1$ で割ります。

$- 338$

ステップ 6

微分積分 例

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