微分積分例

$\int_{0}^{π} x \sin (2 x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \sin (2 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\cos (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{\cos (2 x)}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

ステップ 3

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $- \frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

ステップ 5

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 5.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 5.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 5.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 5.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 6

$\cos (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

ステップ 8.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

ステップ 9

$\cos (u)$ の $u$ に関する積分は $\sin (u)$ です。

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{π} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$π$ および $0$ で $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ の値を求めます。

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{2 π}$

ステップ 10.2

$2 π$ および $0$ で $\sin (u)$ の値を求めます。

$(- \frac{π \cos (2 π)}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.2

$0$ に $\cos (0)$ をかけます。

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.3

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.3.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.3.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.4

$- \frac{π \cos (2 π)}{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (2 π)) - \sin (0))$

ステップ 10.3.5

$\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 10.3.6

$\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{π \cos (2 π)}{2} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

ステップ 10.3.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{4} (\sin (2 π) - \sin (0)) \cdot 2}{2}$

ステップ 10.3.8

$2$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

ステップ 10.3.9

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.9.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 (1)}{4} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

ステップ 10.3.9.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.3.9.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

ステップ 10.3.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

ステップ 10.3.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0))}{2}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0)}{2}$

ステップ 11.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0)}{2}$

ステップ 11.3

$\sin (2 π)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{1}{2} \sin (2 π)}{2}$

ステップ 11.4

$\frac{1}{2}$ と $\sin (2 π)$ をまとめます。

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

ステップ 11.5

$\frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2}}{2}$

ステップ 11.6

まとめる。

$\frac{2 (- π \cos (2 π) + \frac{\sin (2 π)}{2})}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.7

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + 2 \frac{\sin (2 π)}{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.8.2

式を書き換えます。

$\frac{2 (- π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 (π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.10

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π)}{4}$

ステップ 11.11

$- 1$ を $- 2 π \cos (2 π)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) + \sin (2 π)}{4}$

ステップ 11.12

$- 1$ を $\sin (2 π)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))}{4}$

ステップ 11.13

$- 1$ を $- (2 π \cos (2 π)) - 1 (- \sin (2 π))$ で因数分解します。

$\frac{- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

ステップ 11.14

$- (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ を $- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 π \cos (2 π) - \sin (2 π))}{4}$

ステップ 11.15

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 π \cos (2 π) - \sin (2 π)}{4}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \frac{2 π \cos (0) - \sin (2 π)}{4}$

ステップ 12.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{2 π \cdot 1 - \sin (2 π)}{4}$

ステップ 12.3

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 π - \sin (2 π)}{4}$

ステップ 12.4

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$- \frac{2 π - \sin (0)}{4}$

ステップ 12.5

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{2 π - 0}{4}$

ステップ 12.6

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{2 π + 0}{4}$

ステップ 12.7

$2 π + 0$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.7.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$- \frac{2 (π) + 0}{4}$

ステップ 12.7.2

$2$ を $0$ で因数分解します。

$- \frac{2 (π) + 2 (0)}{4}$

ステップ 12.7.3

$2$ を $2 (π) + 2 (0)$ で因数分解します。

$- \frac{2 (π + 0)}{4}$

ステップ 12.7.4

共通因数を約分します。

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ステップ 12.7.4.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{2 (π + 0)}{2 (2)}$

ステップ 12.7.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 (π + 0)}{2 \cdot 2}$

ステップ 12.7.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{π + 0}{2}$

ステップ 12.8

$π$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{π}{2}$

ステップ 13

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{π}{2}$

10進法形式：

$- 1.57079632 \dots$

微分積分 例

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