微分積分例

$\int_{0}^{π} x \cos (3 x) d x$

ステップ 1

$u = x$ と $d v = \cos (3 x)$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ と $\sin (3 x)$ をまとめます。

$x \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

ステップ 2.2

$x$ と $\frac{\sin (3 x)}{3}$ をまとめます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (3 x) d x)$

ステップ 4

$u = 3 x$ とします。次に $d u = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 4.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 4.2

$u = 3 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

ステップ 4.3

$3$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = 3 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 3 π$

ステップ 4.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

ステップ 4.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 5

$\sin (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u)$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

ステップ 7.2

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

ステップ 8

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$π$ および $0$ で $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ の値を求めます。

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

ステップ 9.2

$3 π$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

ステップ 9.3.2

$0$ に $\sin (0)$ をかけます。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

ステップ 9.3.3

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

ステップ 9.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

ステップ 9.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

ステップ 9.3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

ステップ 9.3.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

ステップ 9.3.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

ステップ 9.3.5

$\frac{π \sin (3 π)}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

ステップ 9.3.6

$- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 9.3.7

$- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + \frac{- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

ステップ 9.3.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

ステップ 9.3.9

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{π \sin (3 π) - 3 (\frac{1}{9}) (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

ステップ 9.3.10

$- 3$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 3}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

ステップ 9.3.11

$- 3$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.11.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 (- 1)}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

ステップ 9.3.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.11.2.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

ステップ 9.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

ステップ 9.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

ステップ 9.3.12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

ステップ 10

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

ステップ 11.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{π \sin (0) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

ステップ 11.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{π \cdot 0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

ステップ 11.4

$π$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

ステップ 11.5

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)}{3}$

ステップ 11.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)}{3}$

ステップ 11.7

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{3}$

ステップ 11.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - 1 + 1)}{3}$

ステップ 11.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{0 - \frac{1}{3} (1 + 1)}{3}$

ステップ 11.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0 - \frac{1}{3} \cdot 2}{3}$

ステップ 11.11

$- \frac{1}{3} \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 11.11.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{0 - 2 (\frac{1}{3})}{3}$

ステップ 11.11.2

$- 2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{0 + \frac{- 2}{3}}{3}$

ステップ 11.12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{0 - \frac{2}{3}}{3}$

ステップ 11.13

$0$ から $\frac{2}{3}$ を引きます。

$\frac{- \frac{2}{3}}{3}$

ステップ 11.14

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 11.15

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 11.15.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$- \frac{2}{3 \cdot 3}$

ステップ 11.15.2

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{2}{9}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{2}{9}$

10進法形式：

$- 0.\overline{2}$

微分積分 例

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