微分積分例

$\int_{0}^{π} {(1 + \cos (7 t))}^{2} \sin (7 t) d t$

ステップ 1

$u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ とします。次に $d u_{2} = - 7 \sin (7 t) d t$ すると、 $- \frac{1}{7} d u_{2} = \sin (7 t) d t$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d t}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 + \cos (7 t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (7 t)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 + \cos (7 t)$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ です。

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = 7 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $7 t$ とします。

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [7 t]$

ステップ 1.1.3.1.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [7 t]$

ステップ 1.1.3.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $7 t$ で置き換えます。

$0 - \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]$

ステップ 1.1.3.2

$7$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $7 t$ の微分係数は $7 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$0 - \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - \sin (7 t) (7 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.4

$7$ に $1$ をかけます。

$0 - \sin (7 t) \cdot 7$

ステップ 1.1.3.5

$7$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 7 \sin (7 t)$

ステップ 1.1.4

$0$ から $7 \sin (7 t)$ を引きます。

$- 7 \sin (7 t)$

ステップ 1.2

$u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ の $t$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + \cos (7 \cdot 0)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$7$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

ステップ 1.3.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1 + 1$

ステップ 1.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 2$

ステップ 1.4

$u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ の $t$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + \cos (7 π)$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.5.1.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

ステップ 1.5.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

ステップ 1.5.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.5.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 1 - 1$

ステップ 1.5.2

$1$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

ステップ 2.2

${u_{2}}^{2}$ と $\frac{1}{7}$ をまとめます。

$\int_{2}^{0} - \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

ステップ 3

$- 1$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{2}^{0} \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

ステップ 4

$\frac{1}{7}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{7}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{7} \int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

ステップ 5

べき乗則では、 ${u_{2}}^{2}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ です。

$- \frac{1}{7} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{2}^{0}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$0$ および $2$ で $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ の値を求めます。

$- \frac{1}{7} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

ステップ 6.2.2

$\frac{1}{3}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

ステップ 6.2.3

$2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

ステップ 6.2.4

$8$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{7} (0 - 8 (\frac{1}{3}))$

ステップ 6.2.5

$- 8$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{7} (0 + \frac{- 8}{3})$

ステップ 6.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{8}{3})$

ステップ 6.2.7

$0$ から $\frac{8}{3}$ を引きます。

$- \frac{1}{7} (- \frac{8}{3})$

ステップ 6.2.8

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{7}) \frac{8}{3}$

ステップ 6.2.9

$\frac{1}{7}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{3}$

ステップ 6.2.10

$\frac{1}{7}$ に $\frac{8}{3}$ をかけます。

$\frac{8}{7 \cdot 3}$

ステップ 6.2.11

$7$ に $3$ をかけます。

$\frac{8}{21}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{8}{21}$

10進法形式：

$0.\overline{380952}$

微分積分 例

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